Ein Abbrechkriterium für einen numerischen Algorithmus

Zusammenfassung

Ein Abbrechkriterium von Nickel (Satz 6, [1]) zur Sicherung der numerischen Konvergenz bei lokal stabilen und konsistenten Algorithmen wird verallgemeinert. Statt der Eigenschaft |x _ν+2,x _ν+1|≤L|x _ν+1,x _ν| (0≤L<1,L von ν ∈ ℕ unabhängig) der Näherungsfolge {x _ν} zur Lösungx reicht die Konvergenz der Reihe$\sum\limits_{v = 1}^\infty {|x,x_{v + 1} |/Q^v (0< Q< 1)}$ aus. Damit ist der Satz dieser Arbeit bei einer großen Klasse von numerischen Verfahren anwendbar, für die bisher noch kein Abbrechkriterium bekannt ist (z. B. dem Romberg-Verfahren). Insbesondere ist diese Abschwächung zur Berechnung von Näherungslösungen bei Integralgleichungen wichtig.

Abstract

A termination criterion by Nickel (Theorem 6, [1]) for guaranteeing the numerical convergence for locally stable and consistent algorithms is generalized. The assumption |x _ν+2,x _ν+1|≤L|x _ν+1,x _ν| (0≤L<1,L real constant) of the approximation sequence {x _ν} to the solution is replaced by the convergence of the progression$\sum\limits_{v = 1}^\infty {|x,x_{v + 1} |/Q^v (0< Q< 1)}$. Therefore the theorem of this paper is applicable to a large number of numerical procedures, for which untill now no termination criterion has been known (for example: Rombergprocedure). In particular this weakening is important for the computation of approximation solutions for integral equations.