On the RAS-algorithm

Abstract

Given a nonnegative real (m, n) matrixA and positive vectorsu, v, then the biproportional constrained matrix problem is to find a nonnegative (m, n) matrixB such thatB=diag (x) A diag (y) holds for some vectorsx ∈ ℝ^m andy ∈ ℝⁿ and the row (column) sums ofB equalu _i (v _j )i=1,...,m(j=1,..., n). A solution procedure (called the RAS-method) was proposed by Bacharach [1] to solve this problem. The main disadvantage of this algorithm is, that round-off errors slow down the convergence. Here we present a modified RAS-method which together with several other improvements overcomes this disadvantage.

Zusammenfassung

SeiA eine reelle (m, n) Matrix undu, v positive Vektoren. Das nichtnegative Matrixproblem besteht nun in der Aufgabe, eine nichtnegative (m, n) Matrix zu bestimmen, so daßB=diag(x) A diag (y) für Vektorenx ∈ ℝ^m undy ∈ ℝⁿ gilt undu _i (v _j )i=1, ...,m (j=1,...,n) die Zeilen- und Spaltensummen vonB darstellen. Eine Lösungsmethode (RAS-Verfahren) wurde von Bacharach [1] vorgeschlagen. Ein wesentlicher Nachteil dieses Algorithmus ist die Verlangsamung der Konvergenzgeschwindigkeit durch Rundungsfehler. Hier schlagen wir einen modifizierten RAS-Algorithmus vor, der zusammen mit anderen Verbesserungen diesen Nachteil überwindet.