The construction of a priori bounds for the solution of a two point boundary value problem with finite elements I

Abstract

Let û be the solution of a boundary value problem for an ordinary differential equation of the second order. Function boundsv andw are constructed to û such thatv ≦ û ≦w. From this other bounds are derived for the derivatives û′ and û″. To this end a collocation method with finite elements is used. The inclusion property is proven with the aid of theorems on differential inequalities. Leth be the maximal step size and letk be an arbitrary natural number. Then the accuracy can be made to have arbitrarily high order such thatw−v=C(h ^2k).

Zusammenfassung

Es sei û die Lösung eines Randwertproblems mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zu û werden Schrankenfunktionenv undw konstruiert mitv ≦ û ≦w, daraus folgen ähnliche Aussagen für die Ableitungen û′ und û″. Es wird ein Kollokationsverfahren mit finiten Elementen benutzt; die Schrankeneigenschaften werden durch Differential-Ungleichungs-Sätze gesichert. Isth die maximale Schrittweite undk eine beliebige natürliche Zahl, so lassen sich beliebig hohe Genauigkeitsordnungenw−v=O(h ^2k) erzielen.