On the behaviour of approximate Newton methods

Abstract

Newton's method for solving non linear operator equations requests at each step the solution of a linear equation. When these equations are solved only approximately we have a so called Approximate Newton Method (A.N.M.). In this paper we examine the convergence and the order of convergence of A.N.M.'s under Kantorovich type hypotheses, giving criteria for controlling the behaviour of the iterations. Moreover a posteriori error estimates are proposed. The application of the general results to the case of Newton-Iterative methods is illustrated.

Zusammenfassung

Der klassische Newtonalgorithmus zur Lösung nichtlinearer Gleichungen erfordert bei jedem Schritt die Lösung einer linearen Gleichung. Wenn diese Gleichungen nur angenähert gelöst werden, dann spricht man von einem angenäherten Newtonschen Verfahren. In der vorliegenden Arbeit werden die Konvergenz und deren Ordnung bei den obengenannten Verfahren untersucht und Abschätzungen der Fehler angegeben. Die Resultate der theoretischen Untersuchungen werden auf Newton-Iterationsverfahren angewandt.