The collocation method for the numerical approximation of the periodic solutions of functional differential equations

Abstract

A collocation method with trigonometric trial functions is presented form-order non-linear functional differential equations with periodicity boundary conditions. In general, uniform approximation of an isolated solution and of its firstm−1 derivatives is achieved, while them-derivative is approximated in mean square. In some special cases we have also the uniform approximation of them-derivative. The solution of then-th non-linear collocation equation may be approximated by Newton's iteration with an arbitrary starting point belonging to a suitable neighbourhood of an isolated solution, for alln>n ₀ withn ₀ large enough.

Zusammenfassung

Es wird eine Kollokationsmethode mit trigonometrischen Basisfunktionen für nicht lineare Funktionaldifferentialgleichungenm-ter Ordnung mit periodischen Randbedingungen vorgeschlagen. Allgemein wird eine gleichmäßige Approximation einer isolierten Lösung und ihrer erstenm−1 Ableitungen erhalten, während diem-te Ableitung nur im quadratischen Mittelwert approximiert wird. In einigen Spezialfällen bekommt man jedoch auch eine gleichmäßige Approximation derm-ten Ableitung. Für allen>n ₀, mit genügend großemn ₀, kann die Lösung dern-ten nichtlinearen Kollokationsgleichung durch die Newtonsche Iterationsmethode mit einer der isolierten Lösung genügend nahen Anfangsnäherung approximiert werden.