Multistep-multistage-multiderivative methods for ordinary differential equations

Abstract

This paper studies a general method for the numerical integration of ordinary differential equations. The method, defined in part 1, contains many known processes as special case, such as multistep methods, Runge-Kutta methods (“multistage”), Taylor, series (“multiderivative”) and their extensions (section 2). After a short section on trees and pairs of trees we derive formulas for the conditions to be satisfied by the free parameters in order to equalize the numerical approximation with the solution up to a certain order. Next we extend the reuslts of Kastlunger [6]. The proof given here is shorter than the original one. Finally we discuss formulas, with the help of which the conditions for the parameters can be reduced considerably and give numerical examples.

Zusammenfassung

Diese Methode enthält viele bekannte Methoden als Spezialfall, wie z. B. Mehrschrittverfahren, Runge-Kutta-Methoden, Taylor-Reihen und deren Erweiterungen (Teil 2). Nach einem kurzen Abschnitt über Bäume und Paare von Bäumen leiten wir Formeln für die Bedingungsgleichungen her, welche die freien Parameter erfüllen müssen, damit die numerische Lösung eine gewisse Ordnung erreicht. Anschließend verallgemeinern wir Ergebnisse von Kastlunger [6]. Der Beweis dafür ist kürzer als der ursprüngliche. Weiters erörtern wir Formeln, mit denen die Bedingungsgleichungen stark vereifacht werden können, und geben einige numerische Beispiele.