Minimal parallelism for associative computations under time constraints

Abstract

The parallel evaluation ofA _N =a ₁ ∘a ₂ ∘...∘a _N , where ∘ is binary associative, is studied. Under an idealized model of parallel computation, the minimal number of parallel processors required to computeA _N in at mostt steps is determined for ⌈log₂ N⌉≤t≤N−1. This indicates that it is not always desirable to reduce the running time to an absolute minimum, and provides a lower bound on the processing power required for time-constrained evaluation of general arithmetic expressions. Results for two-input processors, are generalized tob-input processors, and then to non-homogeneous collections of processors. The latter does not have a closed-form solution, so approximations are analyzed.

Zusammenfassung

Die parallele Auswertung vonA _N =a ₁ ∘a ₂ ∘...∘a _N , bei der ∘ binär-assoziativ ist, wird untersucht. In einem idealisierten Modell einer parallelen Berechnung wird die Mindestanzahl paralleler Prozessoren festgestellt, welche für die Berechnung vonA _N in höchstenst Schritten für ⌈log₂ N⌉≤t≤N-1 erforderlich ist. Es zeigt sich, daß es nicht immer wünschenswert ist, die Laufzeit auf ein absolutes Minimum herabzusetzen; daraus ergibt sich eine untere Schranke für die bei, einer zeitbeschränkten Errechnung von generellen arithmetischen Funktionen erforderlichen Verarbeitungsleistung. Ergebnisse für Zwei-Eingabe-Prozessoren werden zunächst aufb-Eingabe-Prozessoren und dann auf nichthomogene Aggregate von Prozessoren verallgemeinert. Letztere Verallgemeinerung hat keine Lösung in geschlossener Form; es werden deshalb Näherungen analysiert.