The range of values of a complex polynomial over a complex interval

Abstract

We discuss algorithms for the computation of the range of values of a complex interval polynomial over a complex interval. The mathematical results needed are based upon a result by Rivlin [7] valid for the range of values of a complex polynomial over the line segment [0, 1]. In the present work we extend his results to an arbitrary line segment in the complex plane. Based upon these results we then generate algorithms suitable for both line segments and rectangular regions in the complex plane executed in rectangular complex interval arithmetic. The algorithms are then tested on a variety of complex interval polynomials and compared both to the true range of values and to the values obtained by the Horner scheme.

Zusammenfassung

Wir diskutieren Algorithmen zur Berechnung des Wertevorrats eines komplexen Intervall-Polynoms in einem komplexen Intervall. Dabei stützen wir uns auf Untersuchungen von Rivlin [7] über den Wertevorrat eines komplexen Polynoms in der Strecke [0, 1]. Wir dehnen seine Ergebnisse in der vorliegenden Arbeit zunächst auf beliebige komplexe Strecken aus. Anschließend entwickeln wir Algorithmen, die den Wertevorrat über Strecken und Rechtecken in der komplexen Ebene in komplexer Intervallarithmetik liefern. Die Algorithmen werden mit einer Reihe von Beispielen getestet. Dabei vergleichen wir die Ergebnisse einerseits mit dem wahren Wertebereich und andererseits mit den Werten, die das Schema von Horner liefert.