Verallgemeinerte Ausgleichsformeln und relativ optimale Formeln in Hilberträumen

Zusammenfassung

In Verallgemeinerung des Begriffs der Optimalformel wird eine lineare Diskretisierungsformel (1) für ein zu approximierendes FunktionalF bezüglich eines geeigneten HilbertraumesH eine ρ-optimale Formel zu ρ≧0 genannt, wenn sie unter allen Formeln$\tilde F$ des Typs (1) die Fehlernom$\left\| {F - \tilde F} \right\|_{H*}$ minimiert unter der Nebenbedingung$r(\tilde F) \leqq \rho$. Dabei ist$r(\tilde F)$ nach (3) ein geeignetes Maß für die numerische Instabilität von$\tilde F$.$\tilde F$ heißt relativ-optimal, wenn$\tilde F$ ρ-optimal ist zu$\rho = r(\tilde F)$. Für sehr allgemeine Scharen (H _ε), ε>0, von Hilberträumen analytischer Funktionen (für ε→0 schöpfen die zugehörigen Regularitätsbereiche die komplexe Ebene aus) werden asymptotische (ε→0) Eigenschaften relativoptimaler Formeln untersucht: als Hauptresultat wird ihre Konvergenz (für ε→0) gegen die klassischen bzw. in naheliegender Weise verallgemeinerte Ausgleichsformeln gezeigt.

Abstract

A linear discretisation formula (1) for the approximation of a given linear functionalF over a Hilbert spaceH is called a ρ-optimal formula for ρ≧0, if it minimizes$\left\| {F - \tilde F} \right\|_{H*}$ under the sidecondition$r(\tilde F) \leqq \rho$ among all formulas$\tilde F$ of type (1). Herein$r(\tilde F)$, is a suitably chosen parameter of the numerical instability of$\tilde F$ (see (3)).$\tilde F$ is called relative-optimal if$\tilde F$ is ρ-optimal for$r(\tilde F) \leqq \rho$. For very general classes of HilbertspacesH _ε, ε>0, of analytic functions (whose regions of regularity cover, the hole complex plane for ε→0) we investigate asymptotic properties of relative-optimal formulas: as a main result it is shown that they converge (for ε→0) to the well-known least-square approximate formulas of to a generalized type of least square formulas.