On the globalization of Wilson-type optimization methods by means of generalized reduced gradient methods

Abstract

For solving nonlinear optimization problems, i.e. for the determination of Kuhn-Tucker points a numerical method is proposed. The considerations continue investigations of Best/ Bräuninger/Ritter/Robinson and Kleinmichel/Richter/Schönefeld. In these papers (published in this journal) different local methods are combined with a penalty method in such a way that global convergence can be guaranteed. In order to show that the basic principle of coupling is applicable to a number of further globally convergent methods a local Wilson-type method is now initialized by a feasible direction method that uses reduced gradients.

In both phases of the method similar subproblems (special quadratic programs) occur. Therefore, in contrast to the papers mentioned above systems of linear equations have to be solved exclusively. Under usual assumptions the algorithm is shown to be globally and superlinearly convergent.

Zusammenfassung

Zur Bestimmung von Kuhn-Tucker-Punkten nichtlinearer Optimierungsaufgaben wird ein hybrides numerisches Verfahren vorgestellt. Ausgangspunkt der Betrachtungen sind die in diesem Journal erschienenen Arbeiten von Best/Bräuninger/Ritter/Robinson und Kleinmichel/ Richter/Schönefeld, in denen verschiedene lokal überlinear konvergente Verfahren mit einer Strafmethode kombiniert werden, so daß sich für die so entstehenden Verfahren auch die globale Konvergenz nachweisen läßt.

Als Beispiel dafür, daß das zugrunde liegende Kopplungsprinzip auf eine Reihe weiterer global konvergenter Verfahren angewendet werden kann, wird ein lokales Verfahren vom Wilson-Typ initialisiert durch ein Verfahren der zulässigen Richtungen, welches unter Benutzung reduzierter Gradienten arbeitet.

In beiden Phasen des Verfahrens treten gleichartige Ersatzprobleme in Form spezieller quadratischer Optimierungsaufgaben auf. Daher sind im Gegensatz zu den oben angeführten Arbeiten ausschließlich lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Unter den üblichen Voraussetzungen läßt sich für das Gesamtverfahren die globale und lokal überlineare Konvergenz zeigen.