Modifikationen des Pollard-Algorithmus

Abstract

The factorization algorithm of Pollard generates a sequence in ℤ _n by

$$x_0 : = 2;x_{i + 1} : = x_i^2 - 1(\bmod n),i = 1,2,3,...$$

wheren denotes the integer to be factored. The algorithm finds an factorp ofn within$0\left( {\sqrt p } \right)$ macrosteps (=multiplications/divisions in ℤ _n ) on average. An empirical analysis of the Pollard algorithm using modified sequences

$$x_{i + 1} = b \cdot x_i^\alpha + c(\bmod n),i = 1,2,...$$

withx ₀,b,c,α∈ℕ and α≥2 shows, that a factorp ofn under the assumption gcd (α,p-1)≠1 now is found within

$$0\left( {\sqrt {\frac{p}{{ged(\alpha ,p - 1}}} } \right)$$

macrosteps on average.

Zusammenfassung

Bei Eingabe vonn erzeugt der Pollardsche Faktorisierungsalgorithmus durch

$$x_0 : = 2;x_{i + 1} : = x_i^2 - 1(\bmod n),i = 1,2,3,...$$

eine Folge in ℤ _n . Der Algorithmus bildet mit festemm∈[logn, n ^1/4] die größten gemeinsamen Teiler

$$ggT(\prod _{i = km + 1}^{km + m} (x_{2i} - x_i ),n),k = 0,1,2,...$$

und benötigt im Mittel$0\left( {\sqrt p } \right)$ viele Makroschritte (=Multiplikationen/Divisionen in ℤ _n ), um den Primfaktorp vonn aufzufinden. Wir haben den Pollard-Algorithmus unter Verwendung modifizierter Iterationsformeln

$$x_{i + 1} = b \cdot x_i^\alpha + c(\bmod n),i = 1,2,...$$

mitx ₀,b,c,α∈ℕ und α≥2 ausgewertet. Die experimentellen Daten zeigen, daß die modifizierten Versionen im Falle ggT(α,p-1)≠1 im Mittel

$$0\left( {\sqrt {\frac{p}{{ggT(\alpha ,p - 1}}} } \right)$$

viele Makroschritte zum Auffinden des Primfaktorsp vonn benötigen.