Ein Verfahren zur schnellen Approximation von Summen mit vielen Summanden

Zusammenfassung

Die exakte Berechnung von Summen mit großer Summandenzahl ist oft sehr zeitraubend. Die übliche Methode aber, solche Summen durch Integrale zu approximieren, führt bei vielen Summandenfunktionen zu einem großen Fehler; zudem muß bei den effektivsten Integrationsverfahren die Summandenfunktion nicht nur für ganzzahlige sondern entgegen ihrer Natur auch für reelle Stellen verfügbar sein. Im Hinblick, auf solche Schwierigkeiten wird hier ein Verfahren mit steuerbarer Genauigkeit angegeben, das keine Integrationen benötigt. Es erkennt, in welchen Bereichen des Summationsintervalls Verbesserungen der Approximation nötig sind, und führt sie aus. Es werden Schranken für den Fehler und für die Anzahl der verwendeten Summanden hergeleitet und eine Algol-60-Prozedur für das Verfahren wird angegeben.

Abstract

Exact computation of sums with a large number of terms is often very time-consuming. Unfortunately, for many term functions the usual method of approximating such sums by integrals leads to a very large error. Moreover, the most efficient methods of integration demand that the term function is available not only at integers but also at real points contrary to its nature. In consideration of such difficulties a, method of controllable accuracy is presented requiring no integrations. The method detects the regions in the interval of summation requiring improvements of the approximation and carries out these improvements. Bounds for the error and for the number of required terms are deduced and an Algol-60-procedure for the method is stated.