The exact region of stability for MacCormack scheme

Abstract

Let the two dimensional scalar advection equation be given by

$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \hat a\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \hat b\frac{{\partial u}}{{\partial y}}.$$

We prove that the stability region of the MacCormack scheme for this equation isexactly given by

$$\left( {\hat a\frac{{\Delta _t }}{{\Delta _x }}} \right)^{2/3} + \left( {\hat b\frac{{\Delta _t }}{{\Delta _x }}} \right)^{2/3} \leqslant 1$$

where Δ _t , Δ _x and Δ _y are the grid distances. It is interesting to note that the stability region is identical to the one for Lax-Wendroff scheme proved by Turkel.

Zusammenfassung

Wir betrachten die zweidimensionale skalare Advektionsgleichung

$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \hat a\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \hat b\frac{{\partial u}}{{\partial y}}$$

und zeigen, daß der Stabilitätsbereich des MacCormack-Schemasgenau durch

$$\left( {\hat a\frac{{\Delta _t }}{{\Delta _x }}} \right)^{2/3} + \left( {\hat b\frac{{\Delta _t }}{{\Delta _x }}} \right)^{2/3} \leqslant 1$$

gegeben ist, wo Δ _t , Δ _x and δ _y die Gitterabstände sind. Interessanterweise ist dieser Stabilitätsbereich identisch mit dem von Turkel für das Lax-Wendroff-Schema bestimmten Stabilitätsbereich.