Interval orders without odd crowns are defect optimal

Abstract

The defect of a (partial) order relationP is defined to be the rank of the kernel of the associated incidence matrix. Gierz and Poguntke [7] have shown that the defect provides a lower bound for the number of incomparable adjacent pairs in an arbitrary topological sorting ofP. We show that this bound is sharp for interval orders without odd crowns. Furthermore, an efficient algorithm for topological sortings of such orders is presented which achieves the bound. We finally exhibit a natural matroid structure associated with the optimal topological sortings under consideration, which permits to solve the weighted case.

Zusammenfassung

Der Defekt einer HalbordnungP ist definiert als der Korang der zugehörigen Inzidenzmatrix. Gierz und Poguntke [7] haben den Defekt als eine untere Schranke für die Anzahl von Paaren unvergleichbarer Elemente, die in einer gegebenen linearen Erweiterung benachbart auftreten können, nachgewiesen. Wir zeigen, daß für Intervallordnungen ohne ungerade Kronen die Schranke exakt ist, und wir geben einen effizienten Algorithmus zur Konstruktion linearer Erweiterungen an, die in diesem Fall die Schranke erreichen. Wir weisen weiter nach, daß die Menge der optimalen linearen Erweiterungen einer solchen Ordung in natürlicher Weise eine Matroidstruktur induziert, die sich zur Lösung des gewichteten Problems verwenden läßt.