On the approximation of the range of values by interval expressions

Abstract

If the real-valued mappingf has a representation of the formf(x)=ϕ₀+ℓ(x)·h(x),x∈X where for the diameter ofh(X) the inequalityd(h(X))≤σd(X) holds and for the absolute value of ℓ(X) we have ∇ℓ(X)∇≤τd(X) ⁿ, then we introduce an interval expression forf which approximates the range of values off over the compact intervalX with ordern+1. Our result contains as a special case the theorem on higher order centered forms from [2] and a series of representations off not discussed before.

Zusammenfassung

Die reele Funktionf besitze über dem IntervallX eine Darstellung der Formf(x)=ϕ₀+ℓ(x)·h(x),x∈X. Für den Durchmesser vonh(X) gelted(h(X))≤σd(X) und für den Absolutbetrag von ℓ(X) bestehe die Ungleichung ∇ℓ(X)∇≤τd(X)ⁿ. Dann geben wir einen Intervallausdruck an, der den Wertebereich vonf über dem IntervallX mit der Ordnungn+1 approximiert. Unser Resultat enthält als Spezialfall das Theorem aus [2] über zentrierte Formen höherer Ordnung und außerdem eine Reihe von Darstellungen vonf, für die diese Resultate bisher nicht bekannt waren.