The construction of cubature formulae for a family of integrals: A bifurcation problem

Abstract

Cubature formulae of degree 11 with minimal numbers of knots for the integral

$$\int\limits_{ - 1}^1 { \int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^\alpha } } (1 - y^2 )^\alpha f(x,y) dxdy \alpha > - 1$$

which are invariant under rotation over an angle π/2 are determined by a system of 18 nonlinear equations in 18 unknowns.

We start with a known solution for this system for α=0. By varying α smoothly, the knots and weights of the cubature formula vary smoothly except in the singular solutions such as turning points and bifurcation points where new solutions branches arise. We use for this purpose the program AUTO. We obtain surprisingly many branches of cubature formulae.

Zusammenfassung

Kubaturformeln vom Grad 11 mit minimaler Knotenzahl für das Integral

$$\int\limits_{ - 1}^1 { \int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^\alpha } } (1 - y^2 )^\alpha f(x,y) dxdy \alpha > - 1,$$

die für Rotationen unter einem Winkel von π/2 invariant sind, werden durch ein nichtlineares Gleichungssystem mit 18 Gleichungen und 18 Unbekannten bestimmt.

Wir starten mit einer bekannten Lösung für α=0. Durch leichte Variation von α variieren die Knoten und Gewichte der Kubaturformel langsam, ausgenommen für singuläre Lösungen sowie Wendepunkte und Bifurkationspunkte, wo neue Lösungszweige erscheinen. Für dieses Verfahren benutzen wir das Programm AUTO. Wir erhalten überraschend viele Zweige von Kubaturformeln.