Low order practical Runge-Kutta-Nyström methods

Abstract

Runge-Kutta-Nyström formulas applicable to the general second order vector initial value problem,y″=f(x, y, y′), are presented. Two families of computational methods requiring five and six evaluations of the function,f, per integration step are derived. The methods consist of embedded formulas fo adjacent order for the solution and its first derivative. This permits a stepping strategy based on error estimates of all components of the numerical solution. From each family of methods a member considered to have good numerical properties has been Selected. Some comparisons of these specific new methods with conventional Runge-Kutta techniques have been made, and the Nyström methods studied here seem to be competitive with some of the best Runge-Kutta methods currently in use.

Zusammenfassung

Es werden Runge-Kutta-Nyström-Formeln für das allgemeine Anfangswertproblem zweiter Ordnungy″=f(x,y,y′) vorgestellt. Es werden zwei Verfahrensfamilien hergeleitet, die fünf und sechs Auswertungen vonf pro Integrationsschritt erfordern. Die Verfahren bestehen aus eingebetteten Formeln benachbarter Ordnung für die Lösung und ihre erste Ableitung. Dies erlaubt eine Schrittweitenstrategie, die auf Fehlerschätzungen aller Komponenten der numerischen Lösung beruht. Aus jeder Methodenfamilie wurde ein Mitglied ausgewählt, von dem gute numerische Eigenschaften erwartet werden können. Einige Vergleiche dieser spezifischen neuen Methoden mit herkömmlichen Runge-Kutta-Methoden wurden vorgenommen und die hier untersuchten Nyström-Methoden scheinen sich mit einigen der besten gegenwärtig im Gebrauch befindlichen Methoden messen zu können.