Abstract
Unstable linear boundary value problems can be solved by the method of Invariant Imbedding in a stable manner. Instead of integration of the system equations this method requires the integration of a matrix Riccati equation, which depends on the boundary values of the problem. The dimension of the Riccati equation is determined by a suitable decoupling of the system equations. Invariant Imbedding now fails, if this decoupling does not correspond with the boundary condition. In addition, the Riccati equation has to be solved once more for each new boundary condition. An extension algorithm is defined, which maps the boundary value problem into a problem of double dimension. This “extended” boundary value is solved by a modified Invariant Imbedding. The resulting “Extended (Dual) Invariant Imbedding” is always applicable and does not depend on the boundary conditions. The corresponding “extended” Riccati equation has to be integrated only once “offline”. If the boundary condition is changed, only systems of linear equations have to be solved “online”.
Zusammenfassung
Das Verfahren des Invarianten Einbettens kann instabile lineare Randwertaufgaben auf stabile Art lösen. Die dabei zu integrierende Matrixriccatigleichung hängt von den Randwerten des Problems ab. Ihre Dimension wird durch ein geeignetes Entkoppeln der Systemgleichungen bestimmt. Das Verfahren muß versagen, wenn dieselbe Entkopplung nicht auch mit den Randwerten durchführbar ist. Außerdem muß für neue Randwerte die Riccatigleichung nochmals gelöst werden. Es wird ein Erweiterungsalgorithmus definiert, der die Randwertaufgabe eindeutig auf einer doppelten Dimension abbildet, die dann durch modifiziertes Invariantes Einbetten gelöst wird. Dieses „Erweiterte (Duale) Invariante Einbetten” ist immer durchführbar. Die zugehörige Riccatigleichung hängt nicht mehr von den Randwerten ab, sie muß nur mehr einmal „offline” gelöst werden. Für neue Randwerte sind nur mehr lineare Gleichungssysteme „online” zu lösen.
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Breitenecker, F. On the solution of linear boundary value problems by extended invariant imbedding. Computing 28, 333–343 (1982). https://doi.org/10.1007/BF02279816
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02279816