Arithmetic of complex sets

Abstract

Let$\mathbb{I}$(ℝ) be the set of all real closed intervals and letΩ ₁:= {+, −, ×, /} be the set of arithmetic operators of ℝ. By extendingΩ ₁ from ℝ to$\mathbb{I}$(ℝ) as usual one finds that$\mathbb{I}$(ℝ) is closed with respect to the operations fromΩ ₁ (R. E. Moore [9]). In the literature several possibilities are discussed to go over from complex numbers to “complex intervals”: rectangles (Alefeld [1] et al.), discs (Henrici [4] et al.) or ellipses (Kahan [5] et al.). In all three cases the resulting sets are not closed with respect toΩ ₁, since the multiplication and division of such “intervals” does not lead to sets of the same kind. In what follows the question is treated whether there are classes of complex sets (“generalized intervals”) which are closed with respect toΩ ₁ or to subsets ofΩ ₁. One such class is easy to find. Also the shape of the sets involved is discussed. If it is assumed however that the sets under consideration are described by a finite number of parameters then there isno such class closed underΩ ₁.

Zusammenfassung

Es sei$\mathbb{I}$(ℝ) die Menge reeller abgeschlossener Intervalle undΩ ₁:= {+, −, ×, /} die Menge der arithmetischen Operationen auf ℝ. Erweitert man dannΩ ₁ von ℝ auf$\mathbb{I}$(ℝ) wie üblich, dann ist$\mathbb{I}$(ℝ) abgeschlossen gegenüber den Operationen vonΩ ₁ (R. E. Moore [9]). In der Literatur werden verschiedene Möglichkeiten vorgeschlagen, um von komplexen Zahlen zu “komplexen Intervallen” überzugehen: Rechtecke (Alefeld [1] et al.), Kreise (Henrici [4] et al.), Ellipsen (Kahan [5] et al.). In allen drei Fällen sind die entstehenden Mengen nicht mehr abgeschlossen gegenüberΩ ₁, weil die Multiplikation und Division solcher “Intervalle” nicht wieder auf Mengen derselben Art führt. Im folgenden wird die Frage behandelt, ob es Klassen von komplexen Mengen (“verallgemeinerte Intervalle”) gibt, die abgeschlossen sind gegenüberΩ ₁ oder Teilmengen vonΩ ₁. Außerdem wird untersucht, welche “Gestalt” solche Mengen besitzen. Während man solche Klassen sofort angeben kann, wird sich zeigen lassen, daß die Abgeschlossenheitnicht mehr erreichbar ist, wenn man noch zusätzlich fordert, daß diese Mengen (nur) durch endlich viele Parameter beschrieben werden.