Embedding universal computer arithmetic in higher programming languages

Abstract

In numerical computations mainly real and complex numbers, intervals as well as matrices and vectors with such components occur. It is well known that the arithmetic operations with real numbers, complex numbers etc. can be carried over to real floating-point numbers, complex floating-point numbers etc. using roundings. This proceeding results in agreeable arithmetic-, order- and compatibility-properties for an abundance of numerical data types and the accompanying arithmetic operations. Most programming languages however only provide real floating-point numbers; all the other data types and operations have to be simulated, e. g. in the form of arrays and procedure calls, which often causes loss of accuracy and arithmetic properties. Furthermore the complicate notation makes programs difficult to read. Therefore in this article an extension of PASCAL is presented which serves as an example for the way these numerical data types can be embedded into the syntax of a programming language.

Zusammenfassung

Beim numerischen Rechnen treten hauptsächlich reelle und komplexe Gleitkommazahlen, Gleitkommaintervalle sowie Matrizen und Vektoren mit solchen Komponenten auf. Die arithmetischen Operationen für reelle Zahlen, komplexe Zahlen usw. können bekanntlich mit Hilfe von Rundungen auf reelle Gleitkommazahlen, komplexe Gleitkommazahlen usw. übertragen werden, wobei möglichst viele algebraische Eigenschaften erhalten bleiben. Es ergibt sich somit eine Vielfalt von numerischen Datentypen mit zugehörigen arithmetischen Operationen, von denen in den meisten Programmiersprachen jedoch nur die reellen Gleitkommazahlen vorgesehen sind. Alle anderen Datentypen und Operationen müssen simuliert werden, z. B. in Form von Feldern und Prozeduraufrufen. Dadurch gehen in vielen Fällen Genauigkeit und wünschenswerte algebraische Eigenschaften verloren; außerdem sind Programme durch die umständliche Schreibweise schwierig zu lesen. Hier soll deshalb am Beispiel von PASCAL gezeigt werden, wie diese numerischen Datentypen in die Syntax einer Programmiersprache eingebaut werden können.