On the numerical solution of non-linear equation characterizing minimal cubature formulae

Abstract

A cubature formula with degree of exactness ≦2k−2 has at leastk(k+1)/2 knots. The existence of such minimal formulae is equivalent to the existence of solutions of a system of quadratic equations. Each solution of such a system generates in a uniquely determined way a minimal formula. For the square [−1, 1]² as domain of integration and for some weight-functions these systems have a simple form, but they seem to be hard to solve. In this note attention is drawn to these systems and to experiences made in order to obtain numerical solutions.

Zusammenfassung

Eine zweidimensionale Kubaturformel vom Genauigkeitsgrad 2k−2 besitzt mindestens 1/2k(k+1) Knoten. Die Existenz von Formeln mit 1/2k(k+1) Knoten ist zur Lösbarkeit eines quadratischen Gleichungssystems äquivalent. Jede Lösung dieses Systems bestimmt in eindeutiger Weise eine minimale Formel. Für das Integrationsgebiet [−1, 1]² und klassische Gewichtsfunktionen haben diese Systeme eine einfache Gestalt, ihre Lösung bereitet jedoch Schwierigkeiten. In dieser Note soll auf diesen Typ von nicht-linearen Systemen aufmerksam gemacht und auf Erfahrungen bei ihrer numerischen Lösung hingewiesen werden.