Efficient solutions of hierarchical systems of linear equations

Abstract

Several methods have been developed in the past for the efficient solution of sparse systems of linear equations with Gaussian elimination. In [5] the generalized nested dissection method is introduced. This method finds an ordering of the rows and columns of the coefficient matrix that produces small fill-in. [6] exploits the hierarchical structure imposed on the coefficient matrix by nested dissection to circumvent the necessity for using general sparse matrix algorithms. He decomposes the matrix into submatrices, solves them and reassembles the solution. We take the approach of [6] one step further: In many engineering applications such as finite element problems and circuit analysis problems many of the submatrices are identical. We exploit this fact to drastically reduce the space requirements for solving systems of linear equations that are defined succinctly using hierarchical definitions. Furthermore, if only a few components of the solution vector are asked for, we can by the same token achieve drastic savings of computing time. We get our results by extending a method for hierarchical graph processing presented in [4] to matrix computation. Our approach generalizes special solutions given in [9, 10].

Zusammenfassung

Zur Lösung dünn besetzter linearer Gleichungssysteme mit Hilfe von Gausselimination wurden bisher mehrere Methoden entwickelt. In [5] wird die Idee der fortgesetzten Unterteilung vorgestellt. Diese Methode findet eine Ordnung der Zeilen und Spalten der Koeffizientenmatrix, die eine effiziente Gaußelimination ermöglicht. [6] stellt eine Lösungsmethode vor, die die der Koeffizientenmatrix durch ihre fortgesetzte Unterteilung aufgeprägte Struktur ausnutzt, und dadurch ohne spezielle Algorithmen für dünn besetzte Matrizen auskommt. Dabei werden die Gleichungssysteme in Subsysteme aufgeteilt und aus der Lösung der Teilsysteme die Gesamtlösung berechnet. Wir führen die Idee von [6] noch einen Schritt weiter: In mehreren Anwendungsgebieten des Ingenieurwesens, wie z.B. in manchen finiten Elemente- oder Netzwerkanalyse-Problemen, sind viele der Subsysteme identisch. Diese Tatsache nutzen wir dazu aus, lineare Gleichungssysteme, für die wir geeignete hierarchische Definitionen finden, mit drastisch reduziertem Platzaufwand zu lösen. Falls darüber hinaus nur einige Koeffizienten des Lösungsvektors gesucht sind, können wir diese in kurzer Zeit berechnen. Unsere Resultate erweitern die Idee der Verarbeitung hierarchischer Graphen auf das Gebiet der Matrizenrechnung. Sie verallgemeinern spezielle Resultate von [9, 10].