Monte-Carlo-Methoden zur numerischen Quadratur auf Gruppen

Zusammenfassung

Es werden komplexwertige Funktionen — definiert auf kompakten, metrischen, abelschen Gruppen —, die sich in absolut konvergente Fourierreihen entwickeln lassen, betrachtet. Für solche Funktionen werden Monte-Carlo-Methoden zur numerischen Berechnung von Integralen angegeben. Für das RestgliedR _N in der Quadraturformel wird folgende Abschätzung gegeben:

$$R_{N_1 } = 0 \left( {\frac{{\log ^{1 + \varepsilon } N_i }}{{N_i }}} \right)$$

für eine passende Folge (N _i (ε)).

Dieser Teil der Arbeit ist eine Verallgemeinerung einer Arbeit vonZinterhof undSchmidt (siehe [9]).

Für Funktionen, bei denen auch die Summe deru-ten Potenz der Fourierkoeffizienten konvergiert (u≤1/2), werden Quadraturformeln angegeben, für deren Restglied folgende Abschätzung gilt:

$$R_N = 0 \left( {\frac{1}{{N^t }}} \right) (t positiv, integer)$$

Es wird gezeigt, daß sich dieO-Abschätzung der Restglieder in den Quadraturformeln für keine Gruppe wesentlich verbessern läßt.

Der zweite Teil der Arbeit gibt eine Anwendung der Quadraturformeln zur numerischen Behandlung der Fredholmschen Integralgleichung auf kompakten, metrischen, abelschen Gruppen.

Abstract

Complex-valued functions — defined on compact, metric, abelian Groups —, which may be expanded in absolute convergent Fourier series are considered. For such functions Monte-Carlo-methods for the numerical computation of Integrals are given. For the remainderR _N in the integration formula the following estimate is given:

$$R_{N_1 } = 0 \left( {\frac{{\log ^{1 + \varepsilon } N_i }}{{N_i }}} \right)$$

for a suitable sequence (N _i (ε)).

This part of this paper is a generalisation of a paper ofZinterhof andSchmidt (see [9]).

For functions, for which even the sum of theu-th power of the Fourier coefficients is convergent (u≤1/2), integration formulas are given, with the following estimate of the remainder:

$$R_N = 0 \left( {\frac{1}{{N^t }}} \right) (t positiv, integer)$$

It is shown that theO-estimate of the remainder can not be essentially improved for any group.

The second part of this paper gives an application of the integration formula for the numerical treatment of Fredholm's integral equation.