Robust algorithms that locate local extrema of a function of one variable from interval measurement results: A remark

Abstract

The problem of locating local maxima and minima of a function from approximate measurement results is vital for many physical applications: inspectral analysis, chemical species are identified by locating local maxima of the spectra; inradioastronomy, sources of celestial radio emission, and their subcomponents, are identified by locating local maxima of the measured brightness of the radio sky;elementary particles are identified by locating local maxima of the experimental curves. Since measurements are never absolutely precise, as a result of the measurements, we have aclass of possible functions. If we measuref(x _i ) with interval uncertainty, this class consists of all functionsf for whichf(x _i ) ε [y _i −ɛ, y _i +ɛ], wherey _i are the results of measuringf(x _i ), andε is the measurement accuracy. For this class, in [2], a linear-time algorithm was described.

In real life, a measuring instrument can sometimes malfunction, leading to the so-calledoutliers, i.e., measurementsy _i that can be way offf(x _i ) (and thus do not restrict the actual valuesf(x _i ) at all).

In this paper, we describerobust algorithms, i.e., algorithms that find the number of local extrema in the presence of possible outliers. These algorithms solve an important practical problem, but they are not based on any new mathematical results: they simply use algorithms from [2] and [3].

Abstract

Залача нахожления локальных максимумов и минимумов функции на основе результатов нриближенных измерений важна для многих фиэических ириложений: вспекмрьном anзе химические компоненты илентифицируютсЯ путем поиска локальных максимумов в спектре; вpauоaсmpоиомuu источникн космического радионзлучения и их комцоненты идентифипируются через отыскание локальных максимумов измеренной яркости неба в радиодиапазоне;емемaрые чaсmы обнаруживаютця через нахождение локальных максимумов экспериментальных кривых. Поскольку измерения никогда не бывают абсолютно точными, в результате этих измерений мы имеем некийклaсс возможных функций. Еслиf(x _i ) измеряется с интервальной неопределенностью, этот класс включает в себя все функцииf, для которыхf(x _i ) ε [y _i −ɛ, y _i +ɛ], гдеy _i есть результаты измеренийf(x _i ), аε есть их ногрещность. Для такого класса функций в работе [2] оцисан алгоритм с линейным временем.

На практике измерительные инструменты могут иногла выхолить из строя, что цриводит к ноявлению в результатахсnлеско, т. е. таких значенийy _i , которые очень далеко отстоят отf(x _i ) и, таким образом, вообще не ограничивают реальные значенияf(x _i ).

В данной работе онисываютсяробaсmuые алгоритмы, т. е. такие алгоритмы, которые находят число локальных экстремумов ири возможном присутствии в результатах всплесков. Эти алгоритмы позволяют рещить важную ирактическую задачу, но основываются не на новых математических результатах, а на известных алгоритмах из [2] и [3].