If we measure a number, we get an interval. What if we measure a function or an operator?

Abstract

Assume that we measure a physical quantityx with a measuring device whose accuracy isδ (i.e., whose producers guarantee that the difference$x--\bar x$ between the actual valuex and the measured value$\bar x$ does not exceedδ). If the result of this measurement is$\bar x$, then possible values ofx form an interval$[\bar x - \delta ,\bar x + \delta ]$.

Suppose now that we know that a physical quantityy is a function of the physical quantityx (in other words, we know thaty=f (x) for some functionf (x)), but we do not knowf. How to determinef? We can measure only finitely many values, with finite precision, so, after finitely many measurements, we get a set of possible functionsf(x). This set can be called afunction interval (function intervals were first analyzed by R. Moore himself).

The situation can become even more complicated. For example, if we analyze how physical fields evolve, then in addition to functions, we must describeoperators, i.e., mappings that transform a function (current value$f(\bar x)$ of a physical field) into a function (predicted future value of this field). Again, since we can perform only finitely many measurements, at any moment of time, our measurement results are consistent with the whole bunch of different operators. So, at any moment of time, we have a set of operators; we can call it anoperator interval.

One can apply different ideas to describe function intervals, operator intervals, etc. But it is desirable to develop a general formalism that would cover all these cases. In this paper, we propose and justify such a formalism.

Abstract

Предположим, что иэмеряется фиэическая величинаx с помощъю иэмерительного устройства, дающего погрещностьδ (т. е. иэготовители этого устройства гарантируют, что раэность$x--\bar x$ между реальным значениемx и измеренным значением$\bar x$ не превыщаетδ). Если реэультат иэмерений равен$\bar x$, воэможные эначенияx лежат в интервале$[\bar x - \delta ,\bar x + \delta ]$.

Прелположим, что иэвестна фиэическая величинаy, являющаяся функиией от фиэической величиныx (другими словами. мы энаем, чтоy=f (x) для некоторой функцииf(x)), но сама функцияf неиэвестна. Как определитьf? Мы можем иэмерить только конечное число эначений с ограниченной точностью. так что после конечного числа иэмерений мы получим множество воэможных функцийf(x). Это множество наэываютфункuонлыным uнmерыом (такие интервалы были впервые исследованы Р. Муром).

Ситуация может стать еще более сложной. Например, если мы исследуем нэменение фиэического поля, то, кроме функций, мы должны описатьоnерamоры, т. е. отображения, которые переводят одну функцию (текущее эначение поля$f(\bar x)$) в другую (предскаэанное будущее эначение этого поля). й опять, иэ-эа того, что мы можем вынолнить только конечное число иэмерений, в каждый момент времени реэультаты нащих иэмерений согласуются с целой группой раэличных операторов. Таким обраэом, в каждый момент времени мы имеем множество операторов, которое можно наэватьопераморным кимерум.

Можно прнмеиять раэлкчные подходые для онисания функциональных интервалов, операторных интервалов и т. д. Но желательно раэработать обобженную формальную систему, приложимую ко всем этим случаям. В работе предлагается и обосновывается такая формальная система.