New slope methods for sharper interval functions and a note on Fischer's acceleration method

Abstract

This paper presents algorithms evaluating sharper bounds for interval functionsF(X) :IR ⁿ →IR. We revisit two methods that use partial derivatives of the function, and develop four other inclusion methods using the set of slopesS _f (x, z) off atx εX with respect to somez εIR ⁿ. All methods can be implemented using tools that automatically evaluate gradient and slope vectors by using a forward strategy, so the complex management of reverse accumulation methods is avoided. The sharpest methods compute each component of gradients and slopes separately, by substituting each interval variable at a time. Backward methods bring no great advantage in the sharpest algorithms, since object-oriented forward implementations are easy and immediate.

Fischer's acceleration scheme [2] was also tested with interval variables. This method allows the direct evaluation of the productf′(x) * (x−z) as a single real number (instead of working with two vectors) and we used it to computeF′(X) * (X−z) for an interval vectorX. We are led to decide against such acceleration when interval variables are involved.

Abstract

Представлены алгоритмы для вычисления более точных границ интервальных ФункцийF(X) :IR ⁿ → IR. Эаново рассмотрены два метода, иснольэюцие частные проиэводные Функции, и раэработано еще четыре лкалиэаионных метода, в которых рименяется множество наклоновS _f (x, z) Φункцииf длчx εX о отнощению к некоторомуz εIR ⁿ. Все методы мозно реалиэовать с помощью средств, которые автоматически вычисляют векторы градиента и наклона с помошью опережаюшеи стратегии, таким обраэом исключив трудности, свяэанные с методами обратного накопления. Самые точные иэ этих методов вычисляют каждую комоненту градиентов и наклонов отдельно, одставляя о одной интервальной еременной эа раэ. Методы с эапаэдыванием не дают болыцого выигпыща в таких алгоритмах, носкольку обьектно-ориентированные методы с опережением реалиэуются с малыми эатратами труда и времени.

Схема ускорения фишера [2] также была протестирована с интервальными еременными. Этот метод дедает воэможным прямое вычисление проиэведенияf′x) * (x−z) как одного вешественного числа (а не двух векторов). Мы испольэовали этот метод для вычисленияF′(X) * (X−z) с интервальным векторомX, но ришли к выводу, что этот метод ускорения не применим к интервальным еременным.