Interval methods that are guaranteed to underestimate (and the resulting new justification of Kaucher arithmetic)

Abstract

One of the main objectives of interval computations is, given the functionf(x ₁, ...,x _n ), andn intervals$\bar x_1 ,...,\bar x_n$, to compute the range$\bar y = f(\bar x_1 ,...,\bar x_n )$. Traditional methods of interval arithmetic compute anenclosure $Y \supseteq \bar y$ for the desired interval$\bar y$, an enclosure that is often an overestimation. It is desirable to know how close this enclosure is to the desired range interval.

For that purpose, we develop a new interval formalism that produces not only the enclosure, but also theinner estimate for the desired range$\bar y$, i.e., an interval y such that$y \subseteq \bar y$.

The formulas for this new method turn out to be similar to the formulas of Kaucher arithmetic. Thus, we get a new justification for Kaucher arithmetic.

Abstract

Одной их главных задач в области интервальных вычислений является следующая: дана функцияf(x ₁, ...,x _n ) иn интервалов$\bar x_1 ,...,\bar x_n$. Требуется вычислить диапазон$\bar y = f(\bar x_1 ,...,\bar x_n )$. Традиционные методы интервальной арифметики позволяют вычислитьвкчеине $Y \supseteq \bar y$ искомого интервала$\bar y$, причем это включение является оценкой сверху. Интересно выяснить, как близко это включение подходит к искомому интервалу.

С этой целью предложен новый интервальный формализм, порождающий не только включение, но иоцеиху снцу для искомого диапазона$\bar y$, т. е. интервал y такой, что$y \subseteq \bar y$.

Формулы предлагаемого метода оказываются сходными с соотношениями арифметики Каухера. Таким образом, этот метод дает нам новое обоснование арифметики Каухера.