Clos Networks: A correction of the Jacobaeus result

Abstract

In 1950, C. Jacobaeus of LM Ericsson established a method for computing internal blocking probabilities for a point-to-point selection within an interconnection network. Jacobaeus result showed that a three stage network would be “nearly” free of internal blocking if the number of matrices in the second stage was equal to the number of inlets of a first stage matrix plus the number of outlets of a third stage matrix minus one. In 1953, C. Clos of Bell Labs showed that for such a number of second stage matrices referred as the “Clos number” the internal blocking probability should indeed be exactly zero under any traffic hypothesis. This meant that the Jacobaeus result, although quite precise, was not perfectly exact. In this paper we bring a correction to the Jacobaeus calculation, leading to a different result. This new result gives an exact zero internal blocking probability for a number of second stage matrices equal to the “Clos result” showing thus its better accuracy.

Résumé

En 1950, C. Jacobaeus de LM Ericsson établit une méthode pour calculer les probabilités de blocage interne dans une sélection point à point pour un réseau de connexion maillé. Le résultat de Jacobaeus montre qu ’un réseau de connexion à trois étages serait « presque » sans blocage si le nombre de matrices du deuxième étage était égal à la somme du nombre d’entrées d’une matrice du premier étage et du nombre de sorties d’une matrice du troisième étage moins un. En 1953, C. Clos des laboratoires Bell montre que pour un tel nombre de matrices secondaires, appelé la « valeur de Clos », la probabilité de blocage interne doit être en fait rigoureusement égale à zéro quelles que soient les hypothèses de trafic. Ceci signifiait que le résultat de Jacobaeus, bien que très précis, n ’était pas absolument exact. Dans cet article, nous apportons une correction au calcul de Jacobaeus, qui conduit à un résultat différent. Ce nouveau résultat donne une probabilité de blocage interne exactement égale à zéro pour un nombre de matrices du deuxième étage égal à la « valeur de Clos », ce qui montre sa meilleure précision.