Abstract
The paper traces the development and the role of syntactic reduction in Edmund Husserl’s (1856–1938) early writings on mathematics and logic, especially on arithmetic. The notion has its origin in Hermann Hankel’s (1839–1873) principle of permanence that Husserl set out to clarify. In Husserl’s early texts the emphasis of the reductions was meant to guarantee the consistency of the extended algorithm. Around the turn of the century Husserl uses the same idea in his conception of definiteness of what he calls “mathematical manifolds.” The paper argues that the notion anticipates the notion of reduction in term rewrite theory in computer science. The role of the reduction for Husserl is, however, primarily epistemological: its purpose is to impart clarity to (at least parts of) formal mathematics.
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Notes
Previously it has been discussed in Hartimo (2007). In addition to that discussion, the present paper elaborates Hankel’s view in more detail and shows in particular that where Hankel used mathematical induction to define various number systems, Husserl’s strategy was to examine their correctness with a reduction-based computational approach.
He uses the term ‘reduzierbar’ in Die wahren Theorien dated to around 1889–1890 (Husserl 1983, p. 35, see also Arithmetik der Reihen dated to around 1889–1891, Husserl 1983, pp. 167–168). Note that Husserl also sometimes uses the word ‘reduction’ for another sense, such as for a reduction from n-ary addition to binary addition so that a \(+\) b \(+\) c is reduced to (a \(+\) b) \(+\) c (e.g., Husserl 2003, p. 279). Such a notion is not a topic of primary interest for us here. To be sure, the reduction under examination has nothing to do with Husserl’s notorious transcendental phenomenological reduction either.
With the exception of Okada (2013). Centrone’s discussion of definite manifolds comes very close to the present discussion. In distinction from her very detailed and elaborate discussion of Husserl’s central concepts, the present approach explains the connection to the equational proof reduction not discussed in those terms by Centrone, as well as Husserl’s indebtedness to Hankel in detail (Centrone 2010, pp. 149–192; 2011). See also Da Silva (2013a, b). For a detailed account of the development of Husserl’s early mathematics see (Ierna 2005, 2006).
These elementary individuals are what are called in the PA ’normal numbers’ [Normalzahlen] (Husserl 1970, p. 261); i.e., the canonical elements of the domain.
To be specific, in Chapter 3 of the sixth logical investigation.
“Die hier angegebenen Eigenschaften der Addition sind ausreichend, um aus ihnen alle weiteren Folgerungen über Summenbildung abzuleiten, ohne dass man sich jemals dabei der realen Bedeutung der Addition erinnern müsste. Sie bilden insofern das System der Bedingungen, welche nöthig und ausreichend sind, um die Operation formal zu definiren” (1867, p. 2). The translations are by the authors, unless otherwise indicated and/or the text refers directly to the English translation. If the original text includes spaced words they are here written with italics.
“Die Bedingung zur Aufstellung einer allgemeinen Arithmetik ist daher eine von aller Anschauung losgelöste, rein intellectuelle Mathematik, eine reine Formenlehre, in welcher nicht Quanta oder ihre Bilder, die Zahlen verknüpft werden, sondern intellectuelle Objecte, Gedankendinge, denen actuelle Objecte oder Relationen solcher entsprechen können, aber nicht müssen” (1867, pp. 9–10).
“Der hierin enthaltene hodegetische Grundsatz kann als das Princip der Permanenz der formalen Gesetze bezeichnet werden und besteht darin: Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfache Grössen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend welchen anderen Inhalt bekommen” (1867, p. 11).
“Mittels dieses Principes war es möglich, an Stelle des zunächst liegenden Begriffs einer Zahl, als des Ausdrucks der actuellen Relationen von Objecten und deren Operationen, den allgemeineren Begriff formaler, bloss im Gebiete des logischen Denkens sich bewegender Operationen und aus der mentalen Verknüpfung von Objecten hervorgehender Zahlen zu setzen, welche zunächst inhaltsleer, rein die abstracten Formen des zu[s]ammenfassenden Denkens des Unstetigen sind” (1867, p. 47).
“Wir werden dabei im Allgemeinen so verfahren: Wenn ein Gebiet von Objecten gegeben ist, so wird man zunächst fragen, ob es eine auf sie anwendbare Operation gebe, welcher die Eigenschaften der Addition zukommen. Eine stricte Methode zur Beantwortung dieser Frage gibt es allerdings nicht, vielmehr wird die productive Erfindung sie lösen müssen; das Princip der Permanenz leistet dabei gute Dienste. Ist aber eine Operation gefunden, welche die Eigenschaften der Addition hat, so wird man weiter fragen, ob es eine entsprechende Multiplication gebe; um dies zu beantworten, wird man die Principien der Multiplication wiederum in mehr oder minder speciellen Fällen benutzen, und so dazu gelangen die Multiplication actuell zu definiren. Ist dies geschehen, so bleibt es dann noch übrig, in synthetischem Gange nachzuweisen, dass in der That alle fundamentalen Principien der Operation, wie sie in diesem §. gelehrt sind, erfüllt sind, und erst dann wird man die Operation streng genommen als Multiplication bezeichnen können. Das Princip der Permanenz ist hiebei überall nur ein im methodologischen Sinne dieses Wortes, analytisches; es müssen stets eine Reihe von arbiträren Annahmen gemacht werden, welche es nicht beweist, sondern nur leitet. Dass jene Annahmen arbiträr sind, geht genügend daraus hervor, dass verschiedene actuelle Operationen gegeben werden können, welche sämmtlich den allgemeinen formalen Regeln genügen” (1867, pp. 33–34).
Hankel makes a shortcut here. The basic law should be a \(+\) (b \(+\) c) \(=\) (a \(+\) b) \(+\) c for which this is an instance c \(=\) 1.
“Ein solches System kann nur geschaffen werden, indem man von gewissen Elementen, den Einheiten ausgeht, diese auf alle mögliche Weise durch gewisse Operationen verbindet und die Resultate dieser Operationen mit neuen Zeichen signirt. Diese neue Zeichen werden dann nach vorstehenden Regeln wiederum zu verknüpfen sein und zu neuen Zeichen Veranlassung geben u.s.f. Fährt man so fort, bis man zu neuen Zeichen nicht mehr gelangt, also die Resultate der neuen Operationen durch die schon vorhandenen jedesmal ausgedrückt werden können, so nennt man die gebildete Zeichenreiche ein abgeschlossenes System oder Gebiet, dessen Ordnung ich nach der Zahl von Einheiten benenne, welche seiner Bildung verwandt worden sind” (1867, p. 35).
“Eine Zahl ist der Ausdruck gewisser formaler Beziehungen beliebiger Objecte zu einander; ein Zahlensystem stellt eine systematisch geordnete Reihe solcher Beziehungen oder Verknüpfungen dar, deren Wesen den Character des Zahlensystems ausmacht” (Hankel 1867, p. 36).
Hankel proves it for the case where B = 1, by showing that the outcome is a number in the sequence according to its definition. He then shows that this can be done also when B \(=\) 2. If B \(=\) 2 then (1) holds; i.e., that \(\hbox {A}+ \left( 2 + 1 \right) = \left( \hbox {A}+2\right) + 1\) or A \(+\) 3 \(=\) (A \(+\) 2) \(+\) 1, where (A \(+\) 2) and thus also (A \(+\) 2) \(+\) 1, or A \(+\) 3, are also numbers of the sequence. (1867, p. 37).
Hankel’s proof of associativity of addition is as follows. Assuming the equation \(\hbox {A} + (\hbox {B} + \Gamma ) = (\hbox {A} + \hbox {B}) + \Gamma \) (2) and using (1) twice, we get: \(\hbox {A} + \{\hbox {B} + (\Gamma + 1)\} = \hbox {A} + \{(\hbox {B} + \Gamma ) + 1\} = \{\hbox {A} + (\hbox {B} + \Gamma )\} + 1\). According to (2), this is \(\{(\hbox {A} + \hbox {B}) + \Gamma \} + 1\), and according to (1) \(\{\hbox {A} + \hbox {B}\} + (\Gamma + 1)\); thus, \(\hbox {A} + \{\hbox {B} + (\Gamma + 1)\} = \{\hbox {A} + \hbox {B}\} + (\Gamma + 1)\). So if (2) holds, it also holds when \(\Gamma \) is replaced by \(\Gamma + 1\). Where (2) holds for \(\Gamma = 1\), according to (1), it holds for any case, so (2) holds according to the known general ways of demonstration [Schlussweise]. He then derives commutativity of addition from associativity. Let 1 \(+\) A = A \(+\) 1 (3); then according to (1) and (3), 1 \(+\)(a \(+\) 1) = (1 \(+\) A) \(+\) 1 = (A \(+\) 1) \(+\) 1. Since (3) holds for A = 1, and by replacing A with A \(+\) 1, (3) holds in general. Let A \(+\) B = B \(+\) A (4); then A \(+\) (B \(+\) 1) = (A \(+\) B) \(+\) 1 = (B \(+\) A) \(+\) 1 = B \(+\) (A \(+\) 1) = B \(+\) (1 \(+\) A). According to (1), (4), (1), (3) and also (2), A \(+\) (B \(+\) 1) = (B \(+\) 1) \(+\) A.
“Mittels dieses Principes war es möglich, an Stelle des zunächst liegenden Begriffs einer Zahl, als des Ausdrucks der actuellen Relationen von Objecten und deren Operationen, den allgemeineren Begriff formaler, bloss im Gebiete des logischen Denkens sich bewegender Operationen und aus der mentalen Verknüpfung von Objecten hervorgehender Zahlen zu setzen, welche zunächst inhaltsleer, rein die abstracten Formen des zuammenfassenden [sic.] Denkens des Unstetigen sind” (Hankel 1867, p. 47).
“Ein höheres complexes Zahlensystem, dessen formale Rechnungsoperationen nach den Bedingungen des Sect. 28 bestimmt sind, und dessen Einheitsproducte in’s Besondere lineare Functionen der ursprünglichen Einheiten sind, und in welchem kein Product verschwinden kann, ohne dass einer seiner Factoren Null würde, enthält in sich einen Widerspruch und kann nicht existiren” (Hankel 1867, p. 107).
“Der Begriff der definiten Mannigfaltigkeit diente mir ursprünglich zu einem anderen Zwecke, nämlich zur Klärung des logischen Sinnes des rechnerischen Durchgangs durch ’Imaginäres’ und im Zusammenhang damit zur Herausstellung des gesunden Kernes des vielgerühmten, aber logisch unbegründeten und unklaren H. Hankelschen ’Prinzips der Permanenz der formalen Gesetze’. Meine Fragen waren: an welchen Bedingungen hängt die Möglichkeit, in einem formal definierten deduktiven System (in einer formal definierten ’Mannigfaltigkeit’) mit Begriffen frei zu operieren, die gemä\({\upbeta }\) seiner Definition imaginär sind? Wann kan man sicher sein, \(\hbox {da}{\upbeta }\) Deduktionen, die bei solchem Operieren von dem Imaginären freie Sätze liefern, in der Tat ’richtig’ sind, das ist korrekte Konsequenzen der definierenden Axiomenformen? Wie weit reicht die Möglichkeit, eine -Mannigfaltigkeit’, ein wohldefiniertes deduktives System zu ’erweitern’ in ein neues, das da salte als ’Teil’ enthält?” (Husserl 1974, p. 85).
“On the Concept of Number: Psychological Analysis“ has been published as Husserl’s Habilitationsschrift in Halle a. S.: Heynemannsche Buchdruckerey (F. Beyer), 1887; second edition in Husserliana XII, (Husserl 1970, pp. 289–338), and translated by Dallas Willard in (Husserl 2003, pp. 305–356). Carlo Ierna has argued that the original Habilitationsschrift went significantly farther than “On the Concept of Number” (see Ierna 2005, pp. 23–30 ).
“Die Resultate, zu denen ich gelangt bin, sind merkwürdig genug. Die Meinung, von der ich noch bei der Ausarbeitung der Habilitationsschrift geleitet wurde, \(\hbox {da}{\upbeta }\) der Anzahlbegriff das Fundament der allgemeinen Arithmetik bilde, erwies sich bald als falsch. (Schon die Analyse der Ordnungszahl führte mich darauf). Durch keinerlei Kunststücke, durch kein ’uneigentliches Vorstellen’ kann man die negativen, rationalen, irrationalen und die mannigfachen komplexen Zahlen aus dem Anzahlbegriff herleiten. Dasselbe gilt vom Ordnungszahlbegriffe, dasselbe vom Grö\({\upbeta }\)enbegriffe usw. Und diese Begriffe selbst sind keine logischen Spezialisierungen der Anzahlbegriffe. Tatsache ist, \(\hbox {da}{\upbeta }\) die ’allgemeine Arithmetik (inkl. Analysis, Funktionentheorie etc.) Anwendung findet auf Anzahlen (’Zahlentheorie’), desgleichen auf Ord[inal]z[ahlen], auf stetige Quantitäten, auf n-fache Ausgedehntheiten (Zeit, Raum, Farbe, kraftkontin[uum] etc.)”(1983, p. 245).
“Keine negativen, imaginären, gebrochenen Zahlen lassen sich nachweisen, die als Entwicklungsstufen oder Kombinationsformen der Anzahlbegriffe entstehen könnten. Der Anzahlbegriff lä\({\upbeta }\)t keinerlei Erweiterungen zu; was erweitert wird und Erweiterung zulä\({\upbeta }\)t, ist nur die arithmetische Technik” (Husserl 1983, pp. 42–43).
“Princip der Permanez: Wenn vermöge der Besonderheit der einen Algorithmus begründenden Begriffe gewisse der algorithmischen Operationen nicht in voller Allgemeinheit ausführbar sind, ohne \(\hbox {da}{\upbeta }\) man auf widerstreitende Begriffsbildungen kommt, so erweitert man den Algorithmus, nachdem man ihm von der begrifflichen Grundlage losgelöst und als einen konventionellen gedacht hat, dadurch, \(\hbox {da}{\upbeta }\) man jede solche Bildung versuchsweise dem algorithmischen Gebiete adjungiert und die Konvention hinzufügt, \(\hbox {da}{\upbeta }\) auch für die durch sie symbolisierten Gegenstände (Zeichen) die alten Gesetze gültig bleiben, also die alten Gesetze unbeschränkt ausführbar sein sollen. Man mu\({\upbeta }\) dann in jedem Fall die Konsistenz des erweiterten Algorithmus nachweisen” (1983, p. 33).
“Wir haben bisher nur reine Algorithmen, wenn man will, reine Spielsysteme betrachtet. Die Bedeutung dieser Betrachtungen liegt in der Möglichkeit wissenschaftliche Gebiete durch Algorithmen zu beherrschen. Und der Nutzen daran ist sofort klar: Wenn ein wissenschaftliches Gebiet durch einen begrenzten Algorithmus dadurch beherrscht wird, \(\hbox {da}{\upbeta }\) zwischen beiden jener ausführlich untersuchte und charakterisierte volle Parallelismus besteht, dann kann für die wissenschaftlichen Zwecke dieses Gebiets dem begrenzten auch irgendein erweiterter und unbegrenzter Algorithmus salva veritate substituiert werden, und er wird als solcher in noch höherem Ma\({\upbeta }\)e jenes Gebiet beherrschen, durch die grö\({\upbeta }\)ere Vollkommenheit seines Mechanismus. Alle Begriffe und Konventionen der Erweiterung ermangeln einer in dem wissenschaftlichen Gebiet nachweisbaren begrifflichen Fundierung, sie sind sinnlos und, sofern sie sich formell als Lösungen früher unlösbarer Aufgaben präsentieren, Anzeigen widersprechender Begriffe. Das rechnen mit Hilfe der Technik des erweiterten Gebiets mu\({\upbeta }\) unter allen Umständen zu richtigen Resultaten führen, weil nach unserer allgemeinen Untersuchung jede Zeichen äquivalenz, welche nur die Zeichen und Konventionen des engeren Gebiets einschlie\({\upbeta }\)t und voraussetzt, im Sinne dieser eine richtige, also auf eine Identität reduzierbar ist. Jede Zeichenäquivalenz dieser Art ist aber der notwendige Ausdruck eines richtigen Urteils für das betrachtete wissenschaffliche Gebiet” (1983, pp. 34–35).
“Die Arithmetiker, welche bald schwankend, bald entschieden die Zahlen als Zeichen erklärten, lie\({\upbeta }\)en sich blo\({\upbeta }\) leiten vom Studium des algebr[aischen] Formalismus. Die Möglichkeit, durch blo\({\upbeta }\)e Zeichendefinitionen (\(1+1=2,\,2+1=3,\hbox { etc}.;\hbox { a}\times \hbox {a}=\hbox {a}2,\,(\surd \hbox {a})2=\hbox {a etc}.,\) alles verstanden im Sinne blo\({\upbeta }\)er Äquivalenzen von Zeichen auf dem Papiere) den ganzen Algorithmus der Arithmetik und Analysis herzuleiten, haben jene Mathematiker, vor allem Grassmann, zur Evidenz gebracht. Dies veranla\({\upbeta }\)te sie, Zahl und Zeichen zu identifizieren, ...”(Husserl 1983, pp. 245–246).
“Da\({\upbeta }\) ein System von Zeichen und Zeichenoperationen ein System von Begriffen und Urteilsoperationen mit denselben zu ersetzen vermag, wenn beide Systeme streng parallel laufen, hat nichts Verwunderliches” (Husserl 1983, p. 246).
“Darauf beruhen Syllogistik und Logikkalkül, darauf das viel feinere System der gemeinen Rechenkunst. Rechnen ist nicht Denken (Schlie\({\upbeta }\)en), sondern systematisches Herleiten von Zeichen aus Zeichen, nach festen Regeln. Das result[ierende] Zeichen wird gedeutet und so resultiert der gewünschte Gedanke. Also eine Methode: ein Urteil aus gegebenen Urteilen herzuleiten nicht durch ein wirkliches Schlie\({\upbeta }\)ensondern durch ein regelmä\({\upbeta }\)iges Verfahren, bei dem aus den arithmetischen Signaturen der Daten diejenige des Resultats rein mechanisch gewonnen ist” (Husserl 1983, p. 246).
“Das Zeichensystem der arithmetica universalis gliedert sich in eine gewisse Stufenfolge, vergleichbar derjenigen eines Systems konzentrischer Kreise. Die tiefste Stufe (den innersten Kreis) füllen die Zeichen 1, 2 \(=\) 1 \(+\) 1, 3 \(=\) 2 \(+\) 1 usw., die nächste die Bruchzeichen usw. Die Zeichen der untersten Stufe und nur sie allein sind independent; die der höheren sind von den der tiefern und schlie\({\upbeta }\)lich den der untersten Stufe formal abhängig. Jedem Kreise kommen Rechenregeln (‘formale Gesetze’) zu, die des höhern sind abhängig von den des tiefern, schlie\({\upbeta }\)en sie formell ein. Die Rechenregeln sind nun so formiert, \(\hbox {da}{\upbeta }\) jede ’Gleichung’, auf welchem Wege, d.h. mittelst welcher Stufenkreise sie auch gewonnen sei, identisch erfüllt ist mit Beziehung auf die Zeichen und das Regelgebiet, die sie wirklich impliziert. Ist also z.B. eine Gleichung zw[ischen] ganzen Zahlen (sc. Zeichen) bewiesen durch Hilfsmittel aller Teile der arithmetica universalis, so haftet ihr doch von diesem Beweiswege nichts an: sie ist identisch mit Beziehung auf die Zeichen, die sie enthält. Sie ist eine Identität in dem Sinne der Zeichen und Zeichenregeln der untersten Stufe” (1983, pp. 247–248).
“Die Klarheit, welche wir in die eigentliche Anzahlenarithmetik brachten, leuchtet unserem weiteren Weg nun schon ein Stück voraus. Lä\({\upbeta }\)t der Algorithmus auch au\({\upbeta }\)er dem Anzahlgebiet noch Anwendungen zu, dann kann es nur dadurch geschehen, \(\hbox {da}{\upbeta }\) er entweder dies leistet, weil die bezüglichen Anwendungsbegriffe, obwohl von den Zahlbegriffen verschieden, doch ein formell analoges System bilden wie diese; oder weil es sich einfach um konkrete Anzahlen handelt. Es müssen die betreffenden Begriffsgebiete demgemä\({\upbeta }\) durchforscht und das wahre Sachverhältnis dargelegt werden.
Unsere Aufgabe wird also sein, die verschiedenen Anwendungsgebiete der Zahlen und Zahlverhältnisse zu untersuchen und diejenigen Begriffe, welche man sonst der Arithmetik hat zugrunde legen wollen, sorgfältig zu studieren” (Husserl 1983, pp. 43–44).
“mechanisch-äu\({\upbeta }\)erlichen Zeichenbildung” (1970, p. 257).
“welche aufgrund des Zahlzeichensystems nach festen Regeln Zeichen aus Zeichen herleitet, um erst das Resultat als die Bezeichnung eines gewissen, des gesuchten Begriffes zu reklamieren” (Husserl 1970, p. 257).
“Die Methode der Begriffe ist hochst abstrakt, beschränkt und selbst bei grö\({\upbeta }\)ter Übung mühsam; die der Zeichen konkret-sinnlich, allumfassend und schon bei mä\({\upbeta }\)iger Übung bequem zu handhaben” (1970, p. 257).
“Die Methode der sinnlichen Zeichen ist also die logische Methode der Arithmetik” (1970, p. 257).
“jede geregelte Art der Herleitung von Zeichen aus Zeichen innerhalb irgendeines algorithmischen Zeichensystems nach den diesem System eigentümlichen ’Gesetzen’ - oder besser: Konventionen - der Verknüpfung, Sonderung und Umsetzung” (1970, p. 258).
“Umsetzung der Ausgangsgedanken in Zeichen - Rechnung-, Umsetzung der resultierenden Zeichen in Gedanken” (1970, p. 258).
“logisch zu fundieren” (1970, p. 259).
“Nur an der systematischen Verknüpfung der ihr zugrunde liegenden Begriffe und deren Beziehungen kann es ja liegen, \(\hbox {da}{\upbeta }\) die korrespondierenden Bezeichnungen sich zu einem konsequent gebildeten System zusammenschlie\({\upbeta }\)en und dabei die Sicherheit besteht, \(\hbox {da}{\upbeta }\) jeder im Sinne der Zeichen regeln folgerichtigen Ableitung von Zeichen und Zeichenbeziehungen aus den gegebenen eine im Sinne der Gedanken folgerichtige Ableitung von Begriffen und Begriffsbeziehungen aus den hier gegebenen entsprechen müsse. Demgemä\({\upbeta }\) werden wir auch zur Begründung der arithmetischen Rechenmethoden zurückgehen müssen auf die Zahlbegriffe und deren Verknüpfungsformen” (1970, p. 259).
“Demgemä\({\upbeta }\) erwächst als die erste Grundaufgabe der Arithmetik, alle erdenklichen symbolischen Bildungsweisen von Zahlen in ihre verschiedenen Typen zu sondern und für einen jeden sichere und möglichst einfache Methoden jener Reduktion aufzufinden” (1970, p. 262).
“Damit ist allen einzelnen Schritten nach die streng eindeutige Korrespondenz zwischen der in Begriffen denkenden und der in Zeichen rechnenden Additionsmethode nachgewiesen, und wir dürfen der letzteren volles Vertrauen schenken” (1970, p. 267).
“dessen logische Triftigkeit durch den strengen Parallelismus zwischen der Systematik der Zahlen und Zahlbeziehungen auf der einen und derjenigen der Zahlzeichen und Zahlzeichenbeziehungen (Zeichenäquivalenzen) auf der anderen Zeite gewährleistet ist” (1970, p. 271).
“Dem Fortschritt entlang der Reihe der Begriffe entspricht in strengem Parallelismus ein Fortschritt entlang der Reihe der Namen, und das System der Namen ist in sich genau so konsequent als das der Begriffe” (1970, p. 250).
“die Elementaradditionen sind ihrem Resultat nach eindeutig; sie werden ausgeführt, sei es durch einen bestimmten Zählungsproze\({\upbeta }\), sei es durch den Hinweis auf die Tabelle von Wahrheiten der Eins und Eins. Aber auch die ihnen korrespondierenden Quasi-Additionen der Zeichen sind ihrem Resultat nach eindeutig, sei es durch den parallellaufenden äu\({\upbeta }\)erlichen Zählungsproze\({\upbeta }\) oder durch den Hinweis auf die Tabelle von Zeichenäquivalenzen der ‘Eins und Eins’. Damit ist allen einzelnen Schritten nach die streng eindeutige Korrespondenz zwischen der in Begriffen denkenden und der in Zeichen rechnenden Additionsmethode nachgewiesen, und wir dürfen der letzteren volles Vertrauen schenken” (1970, p. 267).
“die ‘negativen,’ ‘imaginären,’ ‘gebrochenen’ und ‘irrationalen Zahlen’ noch nicht eingeführt sind. Durch sie findet auf unserem Anzahlengebiete eine rechnerisch-formelle - obschon keineswegs begriffliche - Reduktion der inversen Zahlformen auf die direkten statt” (1970, p. 282n).
From the point of view of equational arithmetic based on equational logic, the equation 18 \(+\) 48 \(=\) 66 has many different types of proofs including the one in which 66 is traced back to 18 \(+\) 48. Instead, the reduction-based proof starts with a complex (compounded term), which reduces to a normal (irreducible) term, 66 in this case. In the term-rewrite reduction proof-strategy, for a query, say 18 \(+\) 48 \(=\) 31 \(+\) 35, the left-hand term 18 \(+\) 48 and the right-hand term 31 \(+\) 35 are independently reduced to normal terms, say, n and m, and when n and m are identically the same term, the whole chain of reductions of both sides is understood as the term-rewrite reduction proof of the original query (which is now a proved theorem).
An example of the inner reduction is a reduction in which the term (18 \(+\) 4) \(\times \) 3 is reduced first with the rules of addition to 22 \(\times \) 3 and eventually to a normal term 66. The outer reduction would be one in which there is reduction with rules of multiplication to (18 \(+\) 4) \(+\) (18 \(+\) 4) \(+\) (18 \(+\) 4) and eventually to the normal term 66. The discussion of why different reduction strategies employed to a single term always result in a same normal term is called the confluence issue. Husserl seems to avoid this issue by considering only the fixed innermost reduction strategy.
“Die erste geht auf eine indirekte Zahlbestimmung durch einen äquivalenten Komplex gegebener Verknüpfungen von bekannten Zahlen, und die Aufgabe besteht darin, die wirkliche Ausführung auf ein Minimum von Schwierigkeiten und Verwicklungen zu reduzieren; die zweite geht auf eine in noch viel höherem Ma\({\upbeta }\)e indirekte Zahlbestimmung durch einen Komplex nur unvollkommen gegebener Operationen, sofern die unbekannte Zahl selbst als das eine Fundament der Verknüpfungen fungiert, ...” (1970, p. 283).
“Alle Schwierigkeiten und Zweifel, die wir im X. Kap in dem Verständnis der Rechnungsoperationen und der sie behandelnden Arithmetik fanden, dürfen wir schon jetzt als gelöst ansehen. Bei dem veränderten Sinn, welchen die Operationen auf dem Gebiet der symbolischen Zahlbildungen erlangen, ist es völlig begreiflich geworden, warum hier wissenschaftlich ausgebildete Methoden der Operationsvollziehung nötig sind, die dort gegenstandslos schienen” (1970, p. 272).
“durch einen Inbegriff von formalen Axiomen, d.h. durch eine begrenzte Zahl rein formaler, miteinander konsistenter und voneinander independenter Grundsätze. Die systematische Deduktion liefert rein logisch, d.i. rein nach dem Prinzip vom Widerspruch, die abhängigen Sätze und damit den Gesamtinbegriff von Sätzen, die zu der definierten Theorie gehören. Das Objektgebiet aber ist durch die Axiome in dem Sinn definiert, \(\hbox {da}{\upbeta }\) es umgrenzt ist als irgendeine Sphäre von Objekten überhaupt, gleichgültig ob realen oder idealen, für welche Grundsätze solcher und solcher Formen gelten. Ein so definiertes Objekt-Gebiet nennen wir eine bestimmte, aber formal definierte Mannigfaltigkeit” (1970, p. 431).
“sie lassen sich systematisch klassifizieren, man kann solche Formen erweitern und verengern, man kann irgendeine vorgegebene Form in systematischen Zusammenhang mit anderen Formen bestimmt definierter Klassen bringen und über ihr Verhältnis wichtige Schlüsse ziehen” (1970, p. 431).
“Problem: Es sei ein Gebiet von Objekten gegeben, in welchem durch die besondere Natur der Objekte Verknüpfungs- und Beziehungsformen bestimmt sind, die sich in einem gewisse Axiomensystem A aussprechen. Aufgrund dieses Systems, also aufgrund der besonderen natur der Objekte, haben gewisse Verknüpfungsformen kein reale Bedeutung, d.h. es sind widersinnige Verknüpfungsformen. Mit welchem Recht darf das Widersinnige rechnerisch verwertet, mit welchem Rechte kann also das Widersinnige im deduktiven Denken verwendet werden, als ob es Einstimmiges wäre?” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 93).
Nun ist der Algorithmus der formalen Operation zwar weiter als der Algorithmus der engeren Operationen, die allein realen unterlegt sind in einem gegebenen Begriffsgebiet. Ist aber die formale Arithmetik in sich konsistent, so kann das erweiterte Operieren keinen Widerspruch zeigen mit dem engeren; also was ich formal so abgeleitet habe, \(\hbox {da}{\upbeta }\) es nur Zeichen des engeren Gebietes enthält, mu\({\upbeta }\) für das engere Gebiet auch wahr sein” (1970, p. 438).
“Operationen: Das sagt dem Wortlaut nach Erzeugungen” (1970, p. 482).
“(a) Definite Mannigfaltigkeit durch das unwesentliche Schlie\({\upbeta }\)ungsaxiom wird ausgeschlossen. (b) Kann eine rein algebraische Mannigfaltigkeit, welche keinerlei Individuen des Gebietes definiert, kann eine solche den Charakter einer definiten Mannigfaltigkeit haben?” (Schuhmann and Schuhmann 2001, pp. 99–100).
“jeder Satz, der nur das + enthält und den ich wie immer abgeleitet habe, ist entschieden in Wahrheit und Falschheit. Ebenso sind die bekannten Gesetze der Adition und Multiplikation definit in diesem Sinn unter Voraussetzung des genannten Zusatzaxioms” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 100).
“In der formalen Definition einer Mannigfaltigkeit bleiben unter allen Umständen Möglichkeiten offen, wenn keinerlei Schlie\({\upbeta }\)ungs-Axiom beigefügt werden” (1970, p. 472).
“wenn die Ordnungsaxiome in der Arithmetik fehlten” (Schuhmann and Schuhmann, p. 101).
“in die definierten Individuen mit ihren axiomatischen opertiven Eigenschaften und in die aus ihnen ableitbaren, d.h. mit bestimmten operativen Eigenschaften auszeichenden” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 100).
“jedes aufgrund der Axiome existierende Individuum lä\({\upbeta }\)t eine operative Bestimmung zu und mu\({\upbeta }\) in die Sphäre der speziellen Operationsresultate gehören (die aufgrund gewisser in endlicher Anzahl, sei es in der Definition der Mannigfaltigkeit ursprünglich als gegeben angenommener, sei es willkürlich herauszugreifender und zu gebender Objekte gewonnen werden)” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 101).
“Durch die jeweils festgelegten Existenzen wird nun ein Gebiet umgrenzt, d.h. es wird gezeigt, \(\hbox {da}{\upbeta }\) alle Grö\({\upbeta }\)en des Gebietes, die opertiv resultieren, wenn in jedem Schritt die Existenzbedingungen (-beschränkungen) festgehalten werden, sich reduzieren auf die betreffende ’Zahlenreihe’, d.i. ein geordneter Inbegriff von gegebenen Species. Jede Operation, die sich an diese Bedingungen hält, ist ’ausführbar’, d.h. ergibt eine Zahl der betreffenden Zahlenreihe” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 118).
“Endlich unterscheide ich noch relativ und absolut definite Axiomensysteme. Relativ definit ist ein Axiomensystem, wenn es zwar für sein Existentialgebiet keine Axiome mehr zulä\({\upbeta }\)t, aber es zulä\({\upbeta }\)t, \(\hbox {da}{\upbeta }\) für ein weiteres Gebiet dieselben und dann natürlich auch neue Axiome gelten. Neue Axiome, denn die blo\({\upbeta }\) alten Axiome bestimmen ja nur da salte Gebiet. Relative definit ist die Sphäre der ganzen, der gebrochenen Zahlen, der rationalen Zahlen, ebenso der diskreten Doppelreihenzahlen (komplexen Zahlen). Absolut definit nenne ich eine Mannigfaltigkeit, wen es keine andere Mannigfaltigkeit gibt, welche dieselben Axiome hat wie sie (alle zusammen). Kontinuierliche Zahlenreihe, kontinuierliche Doppelzahlenreiche” (Schuhmann and Schuhmann 2001, p. 102).
“Jede in einer Definitionskette sich entfaltende mathematische Begriffsbildung zeigt uns die Möglichkeit von Erfüllungsketten, die sich Glied für Glied aus signitiven Intentionen aufbeauen. Wir machen uns den Begriff (53)4 klar durch Rückgang auf die definitorische Vorstellung : “Zahl, welche entsteht, wenn man das 1 0 Produkt (53) \(\times \) (53) \(\times \) (53) \(\times \) (53) bildet” . Wollen wir diese letztere Vorstellung wieder klar machen, so m üssen wir auf den Sinn von (53) zurückgehen, also auf die Bildung \(5 \cdot 5 \cdot 5\). Noch weiter zurückgehend, hätten wir dann 5 durch die Definitionskette 5 \(=\) 4 \(+\) 1 , 4 \(=\) 3 \(+\) 1 , 3 \(=\) 2 \(+\) 1 , 2 \(=\) 1 \(+\) l zu erklären” (Husserl 1984, p. 601).
“Dies kann aber in gewisser Weise auch eine signitive Vorstellung leisten” (Husserl 1984, p. 600).
“In dieser Art ist übrigens auch jede schlichte dekadische Zahl eine Anweisung auf eine mögliche Erfüllungskette, deren Gliederzahl durch die um 1 verminderte Zahl ihrer Einheiten bestimmt ist, so daß derartige Ketten von unbegrenzt vielen Gliedern a priori möglich sind” (1984, p. 601).
“Innerhalb der universalen Mathesis ist jede Mannigfaltigkeit eine konstruierbare” (Daubert 2004, p. 316).
Husserl’s rewriting decidability argument does not work in the system of real numbers. See Okada (2013).
Term rewriting theory has been developed as a theory of term-reductions for decision algorithms of equational systems. See Dershowitz and Jouannaud (1990).
“vielmehr surrogieren für die arithmetisch bedeutsamen Zeichen dieselben, aber in einer gewissen Operations - oder Spielbedeutung genommene Zeichen” (1984, p. 75).
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Acknowledgments
This work was partly supported by MEXT-Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas (Grant number 23120002) and MEXT-JSPS Grant-in-Aid for Scientific Research (B) (Grant number 26284005). Mirja Hartimo’s research has been funded by Swedish Collegium for Advanced Studies and Academy of Finland through a project “Judgement and Human Rationality” led by Leila Haaparanta.
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Hartimo, M., Okada, M. Syntactic reduction in Husserl’s early phenomenology of arithmetic. Synthese 193, 937–969 (2016). https://doi.org/10.1007/s11229-015-0779-0
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