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Discrete differential geometry and cluster algebras via TCD maps
Affolter, Niklas Christoph
In this PhD thesis we develop the frame work of triple crossing diagram maps (TCD maps), which describes constrained configurations of points in projective spaces and discrete dynamics on these configurations. We are able to capture the constraints and dynamics of a large list of examples that occur in discrete differential geometry (DDG), discrete integrable systems and exactly solvable models. We explain how to apply various geometric operations to TCD maps, including projections, intersections with hyperplanes and projective dualization. In fact, we show how many examples in the literature are related by the aforementioned operations. Moreover, we introduce a hierarchy of cluster structures on TCD maps, thus answering the open question how objects of DDG relate to cluster structures. At the same time, the general cluster structure reproduces cluster structures known for the pentagram map, T-graphs and t-embeddings. We also explain how the cluster structures behave under geometric operations. Via the cluster structures, the TCD maps are also related to the probabilistic dimer model. The spanning tree model and the Ising model can be obtained as special cases of the dimer model, and we investigate how these special cases relate to geometry. This also leads to two new incidence theorems in relation to quadrics and null-polarities in CP³. Finally, we also show how TCD maps relate to the Fock-Goncharov moduli spaces of projective flag configurations.
In dieser Doktorarbeit entwickeln wir die Theorie der TCD maps, welche Punktkonfigurationen mit Bedingungen in projektiven Räumen beschreiben sowie diskrete Dynamiken dieser Punktkonfigurationen. Wir reproduzieren die Bedingungen und die Dynamiken einer langen Liste an Beispielen aus den Gebieten der diskreten Differentialgeometrie (DDG), diskrete integrablen Systeme und der exakt lösbaren Modelle. Wir erklären wie verschiedene geometrische Operationen auf TCD maps angewendet werden können, insbesondere Projektionen, Schnitte mit Hyperebenen und projektive Dualisierung. Tatsächlich können viele Systeme aus der Literatur durch diese Operationen in einander überführt werden. Außerdem führen wir eine Hierarchie aus sogenannten Cluster Strukturen auf TCD maps ein. Als Konsequenz können wir die offene Frage beantworten, wie die Objekte der DDG mit Cluster Strukturen zusammenhängen. Zusätzlich zeigen wir, dass mehrere bekannte Beispiele für Cluster Strukturen (zum Beispiel für die pentagram map, T-graphs und t-embeddings) als Spezialfälle zu verstehen sind. Wir erläutern auch wie sich die Cluster Strukturen unter den geometrischen Operationen verhalten. Via der Cluster Strukturen bringen wir TCD maps auch mit dem Dimer Model in Zusammenhang. Das Spannbaummodel und das Ising model können als Spezialfälle des Dimer Models betrachtet werden und wir untersuchen, wie diese Spezialfälle sich auf TCD maps übertragen. Dadurch gelangen wir auch zu zwei neuen Inzidenzsätzen im Zusammenhang mit Quadriken und Null-Polaritäten in CP³. Abschließend zeigen wir wie TCD maps und die Fock-Goncharov Modulräume der projektiven Fahnenkonfigurationen zusammenhängen.
