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Structural graph theory meets algorithms: covering and connectivity problems in graphs
Akhoondian Amiri, Saeed
Structural graph theory proved itself a valuable tool for designing efficient algorithms for hard problems over recent decades. We exploit structural graph theory to provide novel techniques and algorithms for covering and connectivity problems.
First, we focus on the Local model of distributed computing. In the Local model, minimizing the number of communication rounds is the main goal. We exploit the local properties of bounded genus graphs. We provide the first constant factor approximation algorithm that solves the dominating set problem in constant rounds on bounded genus graphs. Then, we arbitrarily well approximate it in O(log^*|G|) rounds. We also introduce a simple technique for graphs of bounded expansion which turns any constant factor approximation of r-dominating sets to a constant factor approximation of connected r-dominating sets.
Finding similar patterns in graphs is one of the main challenges in graph theory. One such problem is either to find many disjoint instances of a particular pattern or to find a small set of vertices such that deleting them destroys all instances of that pattern. This question first raised by Erdos and Posa.
We provide an algorithmic classification for strongly connected digraphs analogous to the classical results of Robertson and Seymour on undirected graphs. Furthermore, a good characterization for vertex cyclic digraphs is provided. In the latter, we generalize Younger's conjecture to weakly connected digraphs.
Next, we focus on routing and connectivity problems. The first routing problem we consider is the VDPP and its descendant problems.
We provide an efficient algorithm for solving VDPP{k} on upward planar digraphs in linear time for a fixed k. Then we allow the vertices to have some congestion and we solve the VDPP with congestion in acyclic digraphs. On the complexity side, we show the hardness of those problems when the corresponding parameter (e.g. $k$) is part of the input. It follows that the time complexity of our algorithms are almost optimal. We also show that induced path problem is hard even on digraphs of bounded directed tree-width.
Finally, we consider the problem of rerouting. In a computer network, we may need to reroute packets from their old paths to new paths. The rerouting procedure should satisfy some consistency rules. E.g., the capacity of links should be respected, the flow of the packets cannot be interrupted, etc. Elements of the network are asynchronous. Thus, it is not possible to do the rerouting instantly. We show that it is NP-hard to find a feasible rerouting algorithm even on DAGs. In contrast, we provide a linear time rerouting algorithm on acyclic graphs for a fixed number of paths.
Die strukturelle Graphentheorie hat in den letzten Jahrzehnten einen wichtigen Beitrag zur Theorie der effizienten Graph-Algorithmen geleistet. Wir entwickeln weitere struk- turelle Ergebnisse und neue Techniken um Überdeckungs- und Zusammenhangsprobleme auf Graphen zu effizient zu lösen.
Zunächst konzentrieren wir uns auf das Local Modell, das in verteilten Algorithmen Anwendung findet. In diesem Modell geht es darum, die Kommunikation zwischen Klien- ten in einem Netzwerk zu minimieren, die ein globales Problem lösen möchten. Wenn der Netzwerkgraph speziellen topologischen Einschränkungen genügt, können Probleme wesentlich schneller und besser gelöst werden als in allgemeinen Graphen. Wir zeigen die Existenz einer constant-factor Approximation für das dominating set Problem, die in einer konstanten Zahl von Kommunikationsrunden im lokalen Modell ausgeführt werden kann. Wir zeigen, dass in O(log∗ G) Runden sogar eine beliebig gute Approximation für das Problem berechnet werden kann. Weiterhin zeigen wir eine einfache Technik, mit Hilfe derer aus einem r-dominating set ein nur konstant größeres verbundenes r-dominating set auf Graphen mit beschränkter Expansion (bounded expansion) berechnet werden kann.
Eine wichtige Anwendung der algorithmischen Graphentheorie ist die Suche nach gewissen Patterngraphen in einem großen Eingabegraphen. Eine wichtige Problemstellung ist es, eine kleine Zahl von Knoten zu finden, so dass jedes Vorkommen eines festen Patterngraphen einen der gewählten Knoten enthält. So sagt zum Beispiel der Satz von Erdos and Posa dass für jede feste Zahl k eine Zahl f(k) existiert, so dass in jedem Graphen, der keine k knotendisjunkten Kreise enthält, alle Kreise mit f(k) Knoten überdeckt werden können. Ein entsprechender Dualitätssatz für Minoren wurde von Robertson und Seymour gefunden. Wir beweisen einen analogen Charakterisierungssatz für gerichtete Graphen. Weiterhin liefern wir einen Charakterisierungssatz für gerichtete vertex cyclic Graphen. Mit diesem Satz verallgemeinern wir die Vermutung von Younger auf schwach zusammenhängende gerichtete Graphen.
Im nächsten Teil der Arbeit konzentrieren wir uns auf Routing und Zusammenhangsprobleme. Zunächst betrachten wir das Vertex Disjoint Paths Problem (VDPP) und verwandte Probleme. Wir liefern einen effizienten Algorithmus für das k-VDPP Problem auf upward planaren Graphen, dessen Laufzeit für jedes feste k linear in der Eingabegröße ist. Wir betrachten dann das Disjoint-Paths-Problem mit Congestion auf azyklischen Graphen. Wir zeigen, dass diese Probleme nicht effizient lösbar sind,wenn k als Teil der Eingabe betrachtet wird. Wir zeigen weiter, dass das induced path Problem auf gerichteten Graphen mit beschränkter gerichteter Baumweite nicht effizient gelöst werden kann
Schließlich betrachten wir ein re-routing Problem. In einem Netzwerk soll eine Route für Pakete auf eine neue Route umgestellt werden. Dabei müssen einige Konsistenzbedingungen beachtet werden. Zum Beispiel dürfen die Routen die Kapazitätsbeschränkungen der Kanten nicht überschreiten, der Fluss der Pakete darf nicht zerstört werden usw. Wir nehmen weiterhin an, dass die Klienten des Netzwerkes nicht synchron arbeiten, daher können wir nicht annehmen, dass die neue Route von allen Klienten gleichzeitig umgesetzt wird. Wir zeigen, dass das re-routing Problem sogar auf azyklischen gerichteten Graphen NP-hart ist. Wir zeigen, dass das Problem in Linearzeit gelöst werden kann, wenn die Zahl der neu zu routenden Pfade fest ist.
