Zusammenfassung
Für Ruhelagen autonomer retardierter Funktionaldifferentialgleichungen werden Konzepte zur Abschätzung des Einzugsbereichs abgeleitet. Diese stützen sich auf Verallgemeinerungen der direkten Methode von Lyapunov und des LaSalle-Invarianzprinzips. Bei totzeitfreien gewöhnlichen Differentialgleichungen lassen sich Untermengen des Einzugsbereichs durch Subniveaumengen von Lyapunov-Funktionen beschreiben. Im Gegensatz dazu kann bei totzeitbehafteten Systemen gegebenenfalls keine nichtleere Subniveaumenge eines entsprechenden Lyapunov-Krasovskii-Funktionals in das Monotoniegebiet einbeschrieben werden. Der vorliegende Beitrag gibt zulässige Einschränkungen der Subniveaumengen an, um dieses Problem zu lösen. Zudem werden numerische Methoden beschrieben, die auf Oberschranken des Einzugsradius schließen lassen.
Abstract
With respect to equilibria of autonomous retarded functional differential equations, concepts for inner estimations of domains of attraction are derived. These are based on generalizations of Lyapunov’s direct method and LaSalle’s invariance principle. In delay-free ordinary differential equations, subsets of the domain of attraction can be described by sublevel sets of Lyapunov functions. In contrast, in time-delay systems it may be impossible to inscribe a non-empty sublevel set of a respective Lyapunov-Krasovskii functional into the monotonicity domain. The present paper presents admissible restrictions of the sublevel sets to solve this problem. In addition, numerical methods for upper bounds on the radius of attraction are described.
Funding source: Helmholtz-Gemeinschaft
Award Identifier / Grant number: ZT-0002
Funding statement: Diese Arbeit wurde durch die Helmholtz-Gemeinschaft gefördert (ZT-0002).
Über die Autoren
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Tessina Scholl ist wissenschaftliche Mitarbeiterin in der Gruppe Systemtheorie und Regelungstechnik am IAI des KIT. Hauptarbeitsgebiet: Stabilitätstheorie in Funktionaldifferentialgleichungen.
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Prof. Dr. Veit Hagenmeyer ist Institutsleiter des IAI am KIT. Hauptarbeitsgebiete: Automatisierungstechnik, Regelungstechnik, Mechatronik, Energieinformatik.
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apl. Prof. Dr.-Ing. Lutz Gröll ist Leiter der Gruppe Systemtheorie und Regelungstechnik am IAI des KIT. Hauptarbeitsgebiete: Modellierung verfahrentstechnischer Anlagen, Identifikation, Systemtheorie, Regelungstechnik.
Literatur
1. D. Breda, S. Maset and R. Vermiglio. Stability of linear delay differential equations: A numerical approach with MATLAB. Springer, New York, 2015.10.1007/978-1-4939-2107-2Search in Google Scholar
2. C. Briat. Linear parameter-varying and time-delay systems: Analysis, observation, filtering & control. Springer, Heidelberg, 2015.10.1007/978-3-662-44050-6Search in Google Scholar
3. D. F. Coutinho and C. E. de Souza. Delay-dependent robust stability and L2-gain analysis of a class of nonlinear time-delay systems. Automatica, 44 (8): 2006–2018, 2008.10.1016/j.automatica.2008.01.003Search in Google Scholar
4. O. Diekmann, S. M. Verduyn Lunel, S. A. Gils and H.-O. Walther. Delay equations: Functional-, complex-, and nonlinear analysis. Springer, New York, 1995.10.1007/978-1-4612-4206-2Search in Google Scholar
5. K. Engelborghs, T. Luzyanina and D. Roose. Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL. ACM Trans. Math. Softw., 28 (1): 1–21, 2002.10.1145/513001.513002Search in Google Scholar
6. E. Fridman. Introduction to time-delay systems: Analysis and control. Springer, Cham, 2014.10.1007/978-3-319-09393-2Search in Google Scholar
7. H. Garcia-Lozano and V. L. Kharitonov. Lyapunov matrices for time delay system with commensurate delays. IFAC Proceedings Volumes, 37 (21): 91–95, 2004.10.1016/S1474-6670(17)30449-4Search in Google Scholar
8. K. Gu, V. L. Kharitonov and cJ. Chen. Stability of time-delay systems. Birkhäuser, Boston, 2003.10.1007/978-1-4612-0039-0Search in Google Scholar
9. J. R. Haddock and J. Terjéki. Liapunov-Razumikhin functions and an invariance principle for functional differential equations. J. Differ. Equ., 48 (1): 95–122, 1983.10.1016/0022-0396(83)90061-XSearch in Google Scholar
10. W. Hahn. Stability of Motion. Springer, New York, 1967.10.1007/978-3-642-50085-5Search in Google Scholar
11. J. K. Hale. A stability theorem for functional-differential equations. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 50 (5): 942, 1963.10.1073/pnas.50.5.942Search in Google Scholar
12. J. K. Hale. Sufficient conditions for stability and instability of autonomous functional-differential equations. J. Differ. Equ., 1 (4): 452–482, 1965.10.1016/0022-0396(65)90005-7Search in Google Scholar
13. J. K. Hale and S. M. Verduyn Lunel. Introduction to functional differential equations. Springer, New York, 1993.10.1007/978-1-4612-4342-7Search in Google Scholar
14. H. K. Khalil. Nonlinear systems. Prentice Hall, Upper Saddle River, 2002.Search in Google Scholar
15. V. L. Kharitonov. Time-delay systems: Lyapunov functionals and matrices. Birkhäuser Springer, New York, 2013.10.1007/978-0-8176-8367-2Search in Google Scholar
16. V. B. Kolmanovskii. Stability of some nonlinear functional differential equations. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 2 (2): 185–198, 1995.10.1007/BF01295310Search in Google Scholar
17. N. N. Krasovskii and J. L. Brenner. Stability of motion: Applications of Lyapunov’s second method to differential systems and equations with delay. Stanford University Press, Stanford, 1963.Search in Google Scholar
18. J. P. LaSalle and Z. Artstein. The stability of dynamical systems. SIAM, Philadelphia, 1976.10.1137/1.9781611970432Search in Google Scholar
19. J. Lofberg. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB. IEEE Int. Conf. Robot. Autom., 2004.10.1109/CACSD.2004.1393890Search in Google Scholar
20. D. Melchor-Aguilar and S.-I. Niculescu. Estimates of the attraction region for a class of nonlinear time-delay systems. IMA J. Math. Control Inf., 24 (4): 523–550, 2006.10.1093/imamci/dnm007Search in Google Scholar
21. T. H. Scholl, L. Gröll and V. Hagenmeyer. Time delay in the swing equation: A variety of bifurcations. Chaos: Interdiscip. J. Nonlinear Sci., 29 (12): 123118, 2019.10.1063/1.5122784Search in Google Scholar PubMed
22. T. H. Scholl, V. Hagenmeyer and L. Gröll. On norm-based estimations for domains of attraction in nonlinear time-delay systems. Nonlinear Dynamics, 2020.10.1007/s11071-020-05620-8Search in Google Scholar
23. A. Seuret, F. Gouaisbaut and L. Baudouin. D1.1 – Overview of Lyapunov methods for time-delay systems: Rapport laas no. 16308. HAL archives-ouvertes.fr, (hal-01369516), 2016.Search in Google Scholar
24. R. Villafuerte and S. Mondié. On improving estimate of the region of attraction of a class of nonlinear time delay system. IFAC Proceedings Volumes, 40 (23): 227–232, 2007.10.1016/S1474-6670(17)69292-9Search in Google Scholar
25. T. Vyhlídal and P. Zítek. Quasipolynomial mapping based rootfinder for analysis of time delay systems. IFAC Proceedings Volumes, 36 (19): 227–232, 2003.10.1016/S1474-6670(17)33330-XSearch in Google Scholar
26. T. Yoshizawa. Stability theory by Liapunov’s second method. Mathematical Soc. of Japan, Tokyo, 1966.Search in Google Scholar
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