Algebraische Detektion und Identifikation von Parameterfehlern in der Robotik

Alexander Lomakin; Joachim Deutscher

doi:10.1515/auto-2021-0045

Published by De Gruyter (O) August 10, 2021

Algebraische Detektion und Identifikation von Parameterfehlern in der Robotik

Algebraic detection and identification of parameter faults for robots

Alexander Lomakin

Alexander Lomakin ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Universität Erlangen-Nürnberg und arbeitet in der Forschungsgruppe von Prof. Deutscher. Hauptarbeitsgebiet ist die funktional sichere Überwachung mechatronischer Systeme in der Robotik.
and Joachim Deutscher

Joachim Deutscher ist Professor für Mess- und Regelungstechnik am Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik der Universität Ulm. Hauptarbeitsgebiete: Backstepping-Methoden und Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme, Multi-Agenten-Systeme sowie Regelung nichtlinearer Systeme mit Anwendungen in der Mechatronik.

From the journal at - Automatisierungstechnik

https://doi.org/10.1515/auto-2021-0045

Showing a limited preview of this publication:

Zusammenfassung

In diesem Beitrag wird eine neue algebraische Methode zur Detektion und Identifikation von Parameterfehlern für Roboter vorgestellt. Sie ist unabhängig von auftretenden Störungen und ermöglicht es, zusätzlich zu bestimmen, welche Fehler detektierbar sind. Das Verfahren basiert dabei auf der Rekonstruktion des Residuums als nichtlinearen differentialalgebraischen Ausdruck, der numerisch effizient mithilfe einer polynomialen Approximation ausgewertet wird. Daraus resultiert ein Ansatz für die Fehlerdetektion, -identifikation und -analyse, welcher mit FIR-Filtern, allein auf Basis von messbaren Signalen, effizient realisiert werden kann. Die vorgestellte Methode wird anschließend für einen SCARA-Roboter angewendet und durch eine Simulation validiert.

Abstract

In this paper, a new algebraic method for the detection and identification of parameter faults for robots is presented. The proposed approach is independent of occurring disturbances and additionally allows to determine the detectable faults. The method is based on the reconstruction of the residual as a nonlinear differential algebraic expression using polynomial approximation. This results in an approach for fault detection, identification and analysis, which can be efficiently realized with FIR filters using solely measurable signals. The presented method is applied to a SCARA robot and validated by simulation.

Schlagwörter: Fehlerdiagnose; algebraische Fehlerdetektion; Parameterfehler; Robotik; Ableitungsschätzung

Keywords: fault diagnosis; algebraic fault detection; parameter faults; robotics; derivative estimation

Funding source: Siemens

Funding statement: Die Autoren bedanken sich herzlich bei dem industriellen Forschungspartner Siemens AG, Betriebsgesellschaft Digital Industries Erlangen für die Finanzierung und Unterstützung dieses Projekts.

Über die Autoren

M. Sc. Alexander Lomakin

Alexander Lomakin ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Universität Erlangen-Nürnberg und arbeitet in der Forschungsgruppe von Prof. Deutscher. Hauptarbeitsgebiet ist die funktional sichere Überwachung mechatronischer Systeme in der Robotik.

Prof. Dr.-Ing. habil. Joachim Deutscher

Joachim Deutscher ist Professor für Mess- und Regelungstechnik am Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik der Universität Ulm. Hauptarbeitsgebiete: Backstepping-Methoden und Fehlerdiagnose für verteilt-parametrische Systeme, Multi-Agenten-Systeme sowie Regelung nichtlinearer Systeme mit Anwendungen in der Mechatronik.

AnhangBeweis der LR-Zerlegung der Gram-Matrix

Die Beweisskizze für die LR-Zerlegung der Matrix M erfolgt durch vollständige Induktion für jede Zeile. Hierfür werden zunächst die nachfolgenden Zusammenhänge eingeführt. Entsprechend der Beziehung (17), der Orthogonalität der Vektoren, d. h. ⟨ v k , v l ⟩ = 0, k , l = 1 , … , j , k ≠ l, und der Kommutativität des Skalarprodukts, d. h. ⟨ v k , v l ⟩ = ⟨ v l , v k ⟩, ∀ k , l ∈ N, kann ⟨ v i , v i ⟩ durch

(46) ⟨ v i , v i ⟩ = ⟨ K ¯ i , K ¯ i ⟩ − ∑ j = 1 i − 1 ⟨ K ¯ i ⟩ v j ⟨ K ¯ i , v j ⟩

ausgedrückt werden. Weiterhin lässt sich gemäß (17) das Skalarprodukt einer beliebigen Spalte K ¯ i , i = 1 , … , n f , mit einem orthogonalen Vektor v k , k = 1 , … , i, über

(47) ⟨ v k , K ¯ i ⟩ = ⟨ K ¯ k , K ¯ i ⟩ − ∑ j = 1 k − 1 ⟨ K ¯ i ⟩ v j ⟨ K ¯ k , v j ⟩

ausdrücken.

Der Induktionsanfang ist für i = 1 durch die erste Zeile von M ˜ ( 1 , j ) = M ( 1 , j ) , j = 1 , … , 2 n f , erfüllt, da v 1 = K ¯ 1 und c 1 , 1 = 1 gilt. Die Berechnung der i + 1-ten Zeile der Matrix M ˜, ausgehend von M, wird als Induktionsschritt betrachtet. Es wird dabei angenommen, dass sich die 2 n f Einträge M ˜ ( i + 1 , j ) , j = 1 , … , 2 n f , der i + 1-ten Zeile der Matrix M ˜ in fünf Teile gliedern: die Nulleinträge für j ≤ i, der Eintrag ⟨ v i + 1 , v i + 1 ⟩, die Terme ⟨ v j , K ¯ i + 1 ⟩ für i + 1 < j ≤ n f , die Terme c i + 1 , j für n f < j ≤ n f + i + 1, sowie die weiteren Nulleinträge für n f + i + 1 < j ≤ 2 n f . Nachfolgend wird daher für alle fünf Bereiche einzeln bewiesen, dass diese entsprechend (21) resultieren.

Die Berechnung der ersten Elemente M ˜ ( i + 1 , j ), j = 1 , … , i, von M ˜ ergibt aufgrund der Elimination

(48) M ˜ ( i + 1 , j ) = ⟨ K ¯ i + 1 , K ¯ j ⟩ − ∑ k = 1 j − 1 a k ⟨ v k , K ¯ j ⟩ − a j ⟨ v j , v j ⟩ = ! 0 ,

mit den zu bestimmenden Werten a k ∈ R, k = 1 , … , j. Diese Werte a k sind weiterhin die Faktoren der k-ten Zeilen, die von der i + 1-ten Zeile bei den elementaren Zeilenoperationen subtrahiert werden müssen. Dabei ist (48) erfüllt, sofern diese zu

(49) a k = ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k

gesetzt werden, was sich wiederum durch vollständige Induktion beweisen lässt. Der Induktionsanfang ist für j = 1 erfüllt, da

(50) M ˜ ( i + 1 , 1 ) = ⟨ K ¯ 1 , K ¯ i + 1 ⟩ − ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v 1 ⟨ v 1 , v 1 ⟩ = 0

gilt. Der Induktionsschritt j + 1 ist durch

(51) M ˜ ( i + 1 , j + 1 ) = ⟨ K ¯ i + 1 , K ¯ i + 1 ⟩ − ∑ k = 1 j ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k ⟨ v k , K ¯ i + 1 ⟩ ︸ = (47) ⟨ v j + 1 , K ¯ i + 1 ⟩ − ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v j + 1 ⟨ v j + 1 , v j + 1 ⟩ ︸ = ⟨ v j + 1 , K ¯ i + 1 ⟩ = ! 0

gegeben. Somit verschwinden für alle j = 1 , … , i die Elemente von M ˜ ( i + 1 , j ) , sofern die Werte a k , k = 1 , … , i gemäß (49) gewählt werden. Anhand dieser Ergebnisse kann gezeigt werden, dass das i + 1-te Element M ˜ ( i + 1 , i + 1 ) durch

(52) M ˜ ( i + 1 , i + 1 ) = M ( i + 1 , i + 1 ) − ∑ k = 1 i a k ⟨ v k , K ¯ i + 1 ⟩ = (49) ⟨ K ¯ i + 1 , K ¯ i + 1 ⟩ − ∑ k = 1 i ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k ⟨ v k , K ¯ i + 1 ⟩ = (46) ⟨ v i + 1 , v i + 1 ⟩

bestimmt wird, was somit auch den Induktionsschritt für i + 1 erfüllt. Die Elemente M ˜ ( i + 1 , j ) , j = i + 2 , … , n f , der i + 1-ten Zeile sind durch

(53) M ˜ ( i + 1 , j ) = M ( i + 1 , j ) − ∑ k = 1 i a k ⟨ v k , K ¯ i + 1 ⟩ = (49) ⟨ K ¯ i + 1 , K ¯ j ⟩ − ∑ k = 1 i ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k ⟨ v k , K ¯ i + 1 ⟩ = (47) ⟨ v i + 1 , K ¯ j ⟩

gegeben und erfüllen ebenfalls den Induktionsschritt.

Für die j = n f + 1 , … , n f + i + 1, Elemente besteht die Anforderung, dass diese den jeweiligen Koeffizienten c i + 1 , j − n f entsprechen sollen. Dabei gilt entsprechend (19) und (17) der Zusammenhang

(54) v i + 1 = K ¯ i + 1 − ∑ k = 1 i ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k ( ∑ j = 1 k c k , j K ¯ k ) = ! ∑ j = 1 i + 1 c i + 1 , j K ¯ j .

Durch Faktorisierung der Koeffizienten c i + 1 , j , j = 1 , … , i + 1, kann allgemein gezeigt werden, dass c i + 1 , i + 1 = 1 sowie

(55) c i + 1 , j = − ∑ k = 1 i ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k c k , j ,

mit c k , j = 0, ∀ j > k, gilt.

Hieraus resultiert zudem, dass für die Elemente

(56) M ˜ ( i + 1 , j ) = M ( i + 1 , j ) − ∑ k = 1 i a k M ( k , j ) = − ∑ k = 1 i ⟨ K ¯ i + 1 ⟩ v k c k , j ˜ = c i + 1 , j ˜ , j ˜ < i + 1 , 1 , j ˜ = i + 1 ,

für j = n f + 1 , … , n f + j, mit j ˜ = j − n f gilt. Weiterhin kann aus M ( k , j ) = 0, ∀ j > k gefolgert werden, dass M ˜ ( i + 1 , j ) = 0, j = n f + i + 2 , … , 2 n f , erfüllt sein muss.

Daher kann durch vollständige Induktion bewiesen werden, dass die i + 1-te Zeile und damit für alle i = 1 , … , n f , die i-ten Zeilen der Matrix M ˜ durch (21) dargestellt werden können.

Literatur

1. D. S. Bernstein: Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, Princeton, 2011.Search in Google Scholar

2. H. Chen, Z. Chai, B. Jiang and B. Huang: Data-driven fault detection for dynamic systems with performance degradation: a unified transfer learning framework. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 70: 1–12, 2021.10.1109/TIM.2020.3033943Search in Google Scholar

3. Z. Chen, S. X. Ding, H. Luo and K. Zhang: An alternative data-driven fault detection scheme for dynamic processes with deterministic disturbances. Journal of the Franklin Institute, 354: 556–570, 2017.10.1016/j.jfranklin.2016.10.031Search in Google Scholar

4. W. Cheney and D. Kincaid: Linear Algebra: Theory and Applications. Jones & Bartlett Learning, Burlington, 2010.Search in Google Scholar

5. S. X. Ding: Advanced Methods for Fault Diagnosis and Fault-Tolerant Control. Springer, Berlin, Heidelberg, 2021.10.1007/978-3-662-62004-5Search in Google Scholar

6. F. M. Dopico, C. R. Johnson and J. M. Molera: Multiple LU factorizations of a singular matrix . Linear Algebra and its Applications, 419: 24–36, 2006.10.1016/j.laa.2006.03.043Search in Google Scholar

7. R. Isermann: Fault-Diagnosis Systems: An Introduction from Fault Detection to Fault Tolerance. Springer, Berlin, 2005.10.1007/3-540-30368-5_1Search in Google Scholar

8. L. Kiltz: Algebraische Ableitungsschätzer in Theorie und Anwendung. Universität des Saarlandes, 2018.Search in Google Scholar

9. L. Li and S. X. Ding: Optimal detection schemes for multiplicative faults in uncertain systems with application to rolling mill processes. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 28: 2432–2444, 2020.10.1109/TCST.2019.2947876Search in Google Scholar

10. A. Lomakin and J. Deutscher: Algebraic fault detection and identification for rigid robots. In: Proceedings of International Conference on Robotics and Automation (ICRA), 9352–9358, Paris, France, 2020.10.1109/ICRA40945.2020.9197561Search in Google Scholar

11. A. Lomakin and J. Deutscher: Identification of dynamic parameters for rigid robots based on polynomial approximation. In: Proceedings of International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 7271–7278, Las Vegas, NV, USA, 2020.10.1109/IROS45743.2020.9341195Search in Google Scholar

12. D. G. Luenberger: Optimization by Vector Space Methods. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997.Search in Google Scholar

13. M. Mboup, C. Join and M. Fliess: Numerical differentiation with annihilators in noisy environment. Numerical Algorithms, 50: 439–467, 2009.10.1007/s11075-008-9236-1Search in Google Scholar

14. R. Penrose: A generalized inverse for matrices. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 51: 406–413, 1955.10.1017/S0305004100030401Search in Google Scholar

15. C. D. Persis and A. Isidori: A geometric approach to nonlinear fault detection and isolation. IEEE Trans. Automat. Contr., 46: 853–865, 2001.10.1109/9.928586Search in Google Scholar

16. B. Siciliano and O. Khatib: Handbook of Robotics. Springer, Berlin, Heidelberg, 2007.10.1007/978-3-540-30301-5Search in Google Scholar

17. B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani and G. Oriolo: Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer, London, 2008.10.1007/978-1-84628-642-1Search in Google Scholar

18. G. Szegö: Orthogonal Polynomials. American Mathematical Society, Providence, 1959.Search in Google Scholar

Erhalten: 2021-02-17

Angenommen: 2021-06-14

Online erschienen: 2021-08-10

Erschienen im Druck: 2021-08-26

Algebraische Detektion und Identifikation von Parameterfehlern in der Robotik

Zusammenfassung

Abstract

Über die Autoren

AnhangBeweis der LR-Zerlegung der Gram-Matrix

Literatur

Journal and Issue

Articles in the same Issue