Abstract
We discuss the concept of `minimum phase' for scalar semi Hurwitz transfer functions. The latter are rational functions where the denominator polynomial has its roots in the closed left half complex plane. In the present note, minimum phase is defined in terms of the derivative of the argument function of the transfer function. The main tool to characterize minimum phase is the Hurwitz reflection. The factorization of a weakly stable transfer function into an all-pass and a minimum phase system leads to the result that any semi Hurwitz transfer function is minimum phase if, and only if, its numerator polynomial is semi Hurwitz. To characterize the zero dynamics, we use the Byrnes-Isidori form in the time domain and the internal loop form in the frequency domain. The uniqueness of both forms is shown. This is used to show in particular that asymptotic stable zero dynamics of a minimal realization of a transfer function yields minimum phase, but not vice versa.
Zusammenfassung
Wir diskutieren Minimalphasigkeit skalarer semi-Hurwitz Transferfunktionen; letzteres sind rationale Funktionen, bei denen das Nennerpolynom Nullstellen in der abgeschlossenen linken komplexen Halbebene hat. Minimalphasigkeit wird hier mittels der Ableitung der Argumentfunktion der Transferfunktion definiert. Es wird dann mit Hilfe der Hurwitz-Spiegelung gezeigt, dass jede semi-Hurwitz Transferfunktion eindeutig in ein Produkt von Allpass und minimalphasiger Funktion zerlegt werden kann. Das wesentliche Resultat ist, dass eine semi-Hurwitz Transferfunktion minimalphasig ist genau dann, wenn das Zählerpolynom der Transferfunktion semi-Hurwitz ist. Zur Charakterisierung der Nulldynamik verwenden wir im Zeitbereich die Byrnes-Isidori-Form und im Frequenzbereich die innere Schleifenform; beides sind kanonische Formen. Dies wird verwendet um zu zeigen, dass die Nulldynamik einer minimalen Realisation asymptotisch stabil ist genau dann, wenn das Zählerpolynom der Transferfunktion Hurwitz ist. Insbesondere folgt aus asymptotisch stabiler Nulldynamik die Minimalphasigkeit, aber keineswegs umgekehrt.
About the authors
Achim Ilchmann is head of the group `Analysis and Systems Theory' at the Institute of Mathematics, Technische Universtität Ilmenau. His main interests are: adaptive control, linear differential-algebraic systems, stability theory, time-varying linear systems.
Institut für Mathematik, Technische Universität Ilmenau, Weimarer Straße 25, D-98693 Ilmenau, Germany
Fabian Wirth is professor for `Dynamical Systems' at the Institute of Mathematics, Universtität Würzburg. His main interests are: stability theory of (time-varying) linear and nonlinear systems, Lyapunov theory.
Institut für Mathematik, Universität Würzburg, Emil-Fischer-Straße 40, D-97074 Würzburg, Germany
© 2013 by Walter de Gruyter Berlin Boston
