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Une Preuve Formelle et Intuitionniste du Théorème de Complétude de la Logique Classique

Published online by Cambridge University Press:  15 January 2014

Jean-Louis Krivine*
Affiliation:
Equipe de Logique Mathématique, Université Paris VII, C.N.R.S., 2 Place Jussieu 75251 Paris Cedex 05, France. E-mail: krivine@logique.jussieu.fr

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Introduction. Il est bien connu que la correspondance de Curry-Howard permet d'associer un programme, sous la forme d'un λ-terme, à toute preuve intuitionniste, formalisée dans le calcul des prédicats du second ordre (voir, par exemple [3]). Cette correspondance a été étendue, assez récemment, à la logique classique moyennant une extension convenable du λ-calcul (voir [1, 4, 5, 6]). Chaque théorème formalisé en logique du second ordre correspond donc à une spécification de programme.

Il se pose alors le problème, en général tout à fait non trivial, de trouver la spécification associée à un théorème donné; autrement dit, de déterminer le comportement opérationnel commun aux λ-termes associés aux diverses démonstrations formelles du théorème considéré.

Cette question est résolue ici pour le théorème de complétude de la logique classique.

La première étape consiste à formaliser convenablement ce théorème en logique du second ordre. Ce travail est fait complètement dans la section 1. Il a comme sous-produit, peut-être inattendu, de montrer que ce théorème est prouvable en logique intuitionniste du second ordre (section 2). Ceci, toutefois, à condition d'introduire une légère variante de la notion de modèle, en admettant un modèle supplémentaire trivial, où toute formule est satisfaite.

On notera, à ce sujet, que des preuves intuitionnistes du théorème de complétude de la logique intuitionniste, utilisant des variantes de la notion de modele de Kripke, ont été données par H. Friedman [7] et W. Veldman [8]. On remarquera également qu'un argument de G. Kreisel [2] montre que le théorème de complétude habituel de la logique intuitionniste n'a pas de preuve intuitionniste.

Type
Research Article
Copyright
Copyright © Association for Symbolic Logic 1996

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References

RÉFÉRENCES

[1] Danos, V, Joinet, J. B., and Schellinx, H., LKQ and LKT: Sequent calculi for second order logic based on dual linear decompositions of classical implication, Proceedings of the workshop on linear logic at Cornell 1993, Cambridge University Press, 1995.Google Scholar
[2] Kreisel, G., On weak completeness of intuitionisticpredicate logic, this Journal, vol. 27 (1962), pp. 139158.Google Scholar
[3] Krivine, J. L., Lambda-calcul, types et modèles, Masson, Paris, 1990, English translation: Lambda-calculus, types and models , Ellis Horwood, 1993.Google Scholar
[4] Krivine, J. L., Classical logic, storage operators and second order lambda-calculus, Annals of Pure and Applied Logic, vol. 68 (1994), pp. 5378.Google Scholar
[5] Parigot, M., λμ-calculus: an algorithmic interpretation of classical natural deduction, Proceedings of logical programming and automated reasoning, St. Petersbourg, Lecture Notes in Computer Science, no. 624, Springer-Verlag, 1992, pp. 190201.Google Scholar
[6] Parigot, M., Classical proofs as programs, Proceedings KGC '93, Lecture Notes in Computer Science, no. 713, Springer-Verlag, 1993, pp. 263276.Google Scholar
[7] Troelstra, A. S. and Van Dalen, D., Constructivism in mathematics, vol. II, North Holland, 1988.Google Scholar
[8] Veldman, W., An intuitionistic completeness theorem for intuitionistic predicate logic, this Journal, vol. 41 (1976), pp. 159166.Google Scholar